把一個冰塊扔進一杯水裡。你可能能想象出它融化的樣子。你也知道，無論它變成什麼形狀，你都不會看到它融化成像雪花一樣的東西，到處都是尖銳的邊緣和細小的尖角。

數學家用方程來模擬這一融化過程，但花了130年時間才證明它們符合關於現實的事實。今年3月份的一篇論文中，研究人員已經確定，這些方程確實與直覺相符。模型中的雪花可能並非不可能，但它們極其罕見，而且完全是轉瞬即逝。這些結果為該領域打開了一個新的視角。以前沒有對這一現象有如此深入和精確的瞭解。

冰如何在水中融化的問題被稱為斯特凡問題（Stefan problem），以物理學家約瑟夫·斯特凡的名字命名。它是 "自由邊界 "問題的最重要例子，在這個問題上，數學家考慮像熱擴散這樣的過程如何使邊界移動。在這種情況下，邊界是在冰和水之間。

多年來，數學家們一直試圖理解這些不斷演變的邊界的複雜模型，他們從一種不同型別的物理系統中獲得了靈感：皂膜。在這些研究的基礎上證明，沿著冰和水之間不斷演變的邊界，尖角邊緣很少形成，即使形成，也會立即消失。

這些尖銳的地方程被稱為奇點，事實證明，它們在數學的自由邊界中和在物理世界中一樣是短暫的。

融化的沙漏

再考慮一下，水杯中的冰塊和水，這兩種物質是由相同的水分子組成的，但水處於兩個不同的相（狀態）：固體和液體。這兩個相的交界處存在一個邊界。但是當水的熱量轉移到冰中時，冰就會融化，邊界就會移動。最終，冰和邊界一起消失。

直覺可能會告訴我們，這個融化的邊界始終保持平滑。畢竟，從水杯中拿出一塊冰時，你不會被鋒利的邊緣割傷。

拿一塊沙漏形狀的冰塊，將其浸沒在水杯中。隨著冰的融化，沙漏的腰部變得越來越細，直到消失。在這種情況發生的時候，曾經光滑的腰部變成了兩個尖尖的尖角，或稱奇點。

• 約瑟夫-斯特凡建立了一對模擬冰融化的方程式。

然而現實也告訴我們，奇點是可以控制的。我們知道，奇點不應該持續很長時間，因為溫水會迅速將其融化。也許，如果從一個完全由沙漏組成的巨大冰塊開始，可能會形成一片雪花，但仍只存在於瞬間。

1889年，斯特凡對這個問題進行了數學上的研究，列出了兩個描述冰融化的方程式。一個方程描述了熱量從溫水擴散到冰中，這使冰收縮，同時導致水增加。第二個方程跟蹤了冰和水之間的介面變化，因為融化過程正在進行。(事實上，這些方程也可以描述冰是如此之冷以至於導致周圍的水結冰的情況，但在目前的工作中，研究人員忽略了這種可能性）。

花了近100年的時間，直到20世紀70年代，數學家證明這些方程有一個堅實的基礎。給出一些起始條件——水的初始溫度和冰的初始形狀，就有可能無限期地執行這個模型，以準確描述溫度如何隨時間變化。

他們發現，沒有任何理由可以排除模型得出奇怪的東西。例如，方程可能描述了一個保持完全靜止的尖銳雪花。斯特凡問題變成了一個表明這些情況下的奇點實際上得到很好控制的問題。否則，這將意味著冰雪融化模型是一個失敗，愚弄了幾代數學家。

肥皂的靈感

在數學家開始理解冰融化方程式之前的十年裡，他們在肥皂膜的數學方面取得了巨大的進展。

如果你把兩個鋼絲圈浸在肥皂溶液中，然後把它們分開，它們之間就會形成一層肥皂膜。表面張力會將這層薄膜儘可能地拉緊，使其形成一種被稱為 "貓眼 "的形狀——一種凹陷的圓柱體。這種形狀的形成是因為它以最小的表面積連線了兩個環，使它成為數學家所說的最小表面的一個例子。

到20世紀60年代，數學家們在理解肥皂膜方面取得了進展，但他們不知道方程的解會有多奇怪。描述的肥皂膜有無數的奇點，與我們期望的光滑薄膜完全不同。

• 一個關於肥皂膜的發現幫助數學家理解融化的冰和水之間的邊界是如何演變的。

1961年和1962年，恩尼奧-德-喬治（Ennio De Giorgi）、溫德爾-弗萊明（Wendell Fleming）等人發明了一個方法，用於確定奇點的情況是否像人們擔心的那樣糟糕。

假設有一個肥皂膜方程的解，描述了兩個邊界表面之間的薄膜形狀。將注意力集中在薄膜表面的一個任意點上。這個點附近的幾何形狀是什麼樣子的？在我們對它有所瞭解之前，它可能具有任何一種可以想象的特徵。數學家們設計了一種放大該點的方法，就像他們擁有一臺功率無限的顯微鏡。他們證明，當放大時，看到的只是一個平面。

這種平面性意味著該點附近的幾何形狀不可能是單一的。如果該點位於一個尖頂上，數學家會看到更像一個楔子的東西，而不是一個平面。由於他們隨機選擇了這個點，因此可以得出結論，當近距離觀察時，所有點必須看起來像一個光滑的平面。這確定了整個薄膜必須是光滑的，沒有奇點的困擾。

數學家們想用同樣的方法來處理斯特凡問題，但他們很快意識到，對於冰來說，事情並不那麼簡單。與肥皂膜不同的是，融化的冰看起來總是很光滑，但它確實表現出了奇異性。而且，冰和水之間的界限總是在運動。

從肥皂到冰

1977年，路易斯·卡法雷利（Luis Caffarelli）為斯特凡問題重新發明了一個數學放大鏡。他沒有放大肥皂膜，而是想出瞭如何放大冰和水之間的邊界。

當數學家們放大肥皂膜方程的解時，他們只看到了平坦性。但是當卡法雷利放大冰和水之間的冰凍邊界時，他有時會看到完全不同的東西：幾乎完全被溫水包圍的冰凍點。這些點與冰尖(奇點)相對應，這些冰尖由於融化邊界的後退而被滯留。

這對模型來說將是一場災難。完全的混沌。

卡法雷利證明了冰融化的數學中存在奇異點。他還設計了一種方法來估計有多少個奇點。在奇點的確切位置，溫度總是零攝氏度，因為奇點是由冰組成的。這是一個簡單的事實。但值得注意的是，卡法雷利發現，當遠離奇點時，溫度會以一種明顯的規律增加。

如果你把溫度作為距離的函式作圖，會得到拋物線的形狀，這被稱為拋物線關係。但是，由於空間是三維的，可以在三個不同的方向上繪製溫度圖，而不是隻有一個方向。因此，溫度看起來像一個三維拋物線。

總而言之，卡法雷利的觀察提供了一種清晰的方法來確定冰水邊界的奇點的大小。奇點被定義為溫度為零攝氏度的點，拋物線描述了奇點及其周圍的溫度。因此，在拋物線等於零的任何地方，都有一個奇點。

那麼，有多少地方可以讓拋物線等於零？想象一下，一個拋物面由一連串的拋物線並排疊加而成。像這樣的拋物線可以沿著整條線取一個最小值。這意味著卡法雷利觀察到的每個奇點實際上都可能是一條線的大小，一條無限細的冰邊，而不僅僅是一個冰點。而且，由於許多線可以放在一起形成一個表面，他的研究留下了一個可能性，即一組奇點可以充滿整個邊界表面。如果這是真的，這將意味著斯特凡問題中的奇點完全失去了控制。

然而，卡法雷利的結果只是一個最壞的情況。它確定了潛在奇點的最大尺寸，但它沒有說明奇點在方程中實際發生的頻率，或它們持續的時間。到2019年，費加里（Figalli）、羅斯-奧頓（Ros-Oton）和塞拉（Serra）想出了一個非凡的方法來找出更多的東西。

不完美的模式

為了解決斯特凡問題，需要證明方程中出現的奇點是可控的。要做到這一點，他們需要全面瞭解可能形成的所有不同型別的奇點。

卡法雷利在理解冰融化時奇點如何發展方面取得了進展，但這個過程中有一個特點他不知道如何解決。他認識到，奇點周圍的水溫遵循一個拋物線模式。他還認識到，它並不完全遵循這一模式，有一個小的偏差。

他們三人用顯微鏡來研究這個偏差。當他們放大這個小瑕疵時，發現它門有自己的各種模式，這些模式產生了不同型別的奇異現象。

他們能夠證明所有這些新型別的奇點都迅速消失了——就像它們在自然界中一樣，除了兩個特別神秘的奇點。他們的最後一個挑戰是證明這兩種型別也是一出現就消失，排除了任何像雪花一樣的東西可能持續存在的可能性。

消失的尖頂

第一種型別的奇點曾經出現過，在2000年。一位名叫弗雷德裡克-阿爾姆格倫的數學家在一篇長達1000頁的關於肥皂膜的論文中對其進行了研究，該論文在他去世後才由他的妻子讓-泰勒發表。

雖然數學家們已經表明，肥皂膜在三維空間中總是光滑的，但阿爾姆格倫證明，在四維空間中，一種新的 "分支 "奇點可以出現，使肥皂膜以奇怪的方式變得尖銳。這些奇點是抽象的，無法視覺化。然而，費加里、羅斯-奧頓和塞拉意識到，非常類似的奇點是沿著冰和水之間的融化邊界形成的。

這些分支奇點之一週圍的冰必須有一個圓錐形的圖案，當不斷放大時看起來是一樣的。而且，與拋物線模式不同，拋物線模式意味著奇點可能沿整條線存在，而圓錐模式只能在一個點上有一個尖銳的奇點。利用這一事實，他們表明，這些奇點在空間和時間上是孤立的。一旦它們形成，它們就會消失。

第二種奇點甚至更加神秘。為了瞭解它，想象一下將一塊薄冰浸入水中。它將不斷縮小，並突然一下子消失。但就在那一刻之前，它將形成一個片狀奇點，一個像剃刀一樣鋒利的二維牆。

在某些點上，研究人員大發現了一個類似的情況：兩個冰的鋒面向該點坍塌，就像它位於薄冰片內一樣。這些點並不完全是奇點，而是一個奇點即將形成的位置。問題是這些點附近的兩個鋒面是否同時坍塌。如果發生這種情況，一個片狀奇點只會形成一個完美的瞬間，然後就消失了。最後，他們證明了這實際上就是這個場景在方程中所表現出來的。

在證明了奇異的分支和片狀奇點都是罕見的之後，研究人員可以做出這樣的一般性宣告：斯特凡問題的所有奇點都是罕見的。

數學家們說，這項工作的技術細節將需要時間來消化。但他們相信，這些結果將為許多其他問題的進展奠定基礎。斯特凡問題是整個數學子領域中邊界移動的一個基礎性例子。但至於斯特凡問題本身，以及冰塊如何在水中融化的數學問題呢