二價的歷史

最近，網際網路界發生了一件不大不小的事：Google AdSense放棄了二價計費的機制，改用一價計費機制。

說它事小，的確它僅是在某個小眾領域內的專業事件，瓜眾甚至多數網際網路從業人員都不清楚啥叫二價。

說它事大，因為這個改動不僅影響著每年幾百億美元的Google聯盟廣告收入，而且影響著全球上百萬以此為生的站長和開發者的利益。

更進一步講，因為Google的影響力之大，這一改動將會帶動網際網路廣告基本計費方式的徹底改變，而這市場影響力將超過每年幾千億美元。

二價機制，這個經濟學的理論模型正在揮手告別它在實踐中的再一次大規模應用。是的，這並不是二價機制在人間的第一次告別，我想也不會是最後一次。這篇文章，戎老溼將帶大家回顧“二價”這個網紅拍賣機制的成長曆程。

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目錄如下，僅供參考

1. 出生：非對稱資訊下的激勵

1.1 四種基本的拍賣形式

1.2 收益等價定理

2. 亮相：首次大規模應用

2.1 “說真話”的使命

2.2 在紐西蘭折戟沉沙

2.3 在美國徹底告別頻譜拍賣

3. 成長：理論上的完美擴充套件

3.1 二價機制理論上的擴充套件

3.2 VCG的思想：誰挖得坑誰填

3.3 VCG機制：說謊沒有收益

3.4 VCG機制的尷尬：假如我們一起說謊

3.5 廣告平臺的承諾值得信任嗎

4. 迴歸：披著二價外衣的GSP

4.1無奈之舉，還是陰差陽錯

4.2 GSP機制及三個核心結論

4.3 GSP機制的納什均衡

4.4 GSP機制的無嫉妒均衡

4.5 GSP機制的收益

5. 告別：與時俱進的二價機制

出生：非對稱資訊下的激勵

1.1 四種基本的拍賣形式

二價機制屬於非對稱資訊博弈下的一種激勵機制，說人話，它是一種拍賣形式。所以，要了解“二價”的身世，非常有必要了解一些最基本的拍賣知識。

說到拍賣，我們腦海中通常是這樣一種場面：

沒錯，這是人間最常見的一種拍賣形式。這種拍賣叫做英式拍賣，或叫公開增價拍賣。

英式拍賣（公開增價拍賣）的規則

• 增價：競標者依次從低到高增加報價，最終無人再增加報價時，拍賣結束
• 價高者得：報價最高的競標者獲得標的物
• 支付報價：獲勝者按他最後的報價支付

如果旅遊去過荷蘭阿爾斯梅爾（Aalsmeer）鮮花交易市場，你應該對拍賣大廳正中央的大表盤會留下深刻印象。

對，奏是這樣的奇奇怪怪的錶盤：

看不清上面的文字？戎老溼給你畫個示意圖：

荷蘭式拍賣（公開減價拍賣）的規則

• 減價：錶盤上的價格從高到低下降，當有競標者喊停時，拍賣結束
• 首個喊停者得：第一個喊停的競標者獲得標的物
• 支付當前報價：獲勝者按喊停時錶盤上的價格支付

這個大廳每個工作日都在舉行鮮花拍賣，與英式拍賣相反，這裡的拍賣價格是從高到低下降的。一開始，這個錶盤上顯示一個較高的價格（通常是1支花1歐元）。隨著拍賣的進行，這個價格以最小貨幣單位遞減。當下降到任一競標者的心裡價位時，該競標者可以透過手中的開關使錶盤上的價格停止下降。該競標者以當前價格獲得該批次的鮮花，拍賣結束。

因為這種拍賣最早在這裡出現，所以叫做荷蘭式拍賣，或叫做公開減價拍賣。

英式拍賣和荷蘭式拍賣都屬於公開拍賣。在這兩種拍賣進行過程中，競標者的報價是公開的，這是競標者決策的公共資訊。當然，也有非公開報價的拍賣形式，稱為密封拍賣，或者暗拍。

暗拍的基本形式也有兩種：第一價格密封拍賣和第二價價格密封拍賣，簡稱“一價拍賣”和“二價拍賣”。

一價拍賣的規則

• 密封報價：每個競標者都非公開的報價給拍賣組織者
• 價高者得：報價最高的競標者獲得標的物
• 最高價支付：獲勝者按照最高報價支付

二價拍賣的規則

• 密封報價：每個競標者都非公開的報價給拍賣組織者
• 價高者得：報價最高的競標者獲得標的物
• 次高價支付：獲勝者按照次高報價支付

1.2 收益等價定理

接下來，人們最關心的一個靈魂問題就是：

拍賣理論中的第一個基本問題

英式拍賣、荷蘭式拍賣、一價拍賣和二價拍賣，哪種形式對拍賣組織者的收益最高？

要用非數學語言回答清楚這個問題是比較有挑戰的。

戎老溼認為，數學語言是直男語言，言簡意賅，少用廢話，邏輯嚴絲合縫，因此容易掉粉。而人類的自然語言是渣男語言，婉轉頓挫，曲徑通幽，無論多麼沒營養的話，都會讓人覺得很有意思，一句話漲粉。

為了漲粉，戎老溼嘗試用渣男語言回答上面那個問題並給出證明過程。事實上，它是拍賣理論中最基本的一個結論，加不加之一都沒毛病。這個結論稱為收益等價定理。

收益等價定理

四種拍賣形式對拍賣組織者的收益是一樣一樣的，但這是有條件的。

定理的結論貌似很悲觀：想簡單地找一個對拍賣組織者有利的拍賣形式，沒轍兒，四種基本形式都一樣的，沒挑兒！

說句題外話，理論上極重要的結論通常都是令人悲觀的，比如數學裡的尺規作圖不可能問題，物理上的測不準原理，社會學裡的阿羅不可能定律，經濟學裡蒙代爾不可能三角形。

這些悲觀的結論在各自學科中都是里程碑式地工作，收益等價定理同樣也類似。它的研究者，哥倫比亞大學經濟學教授Vickrey，最終獲得了1996年諾貝爾經濟學獎。這是後話了。

話說回來，我們別忘記，這個悲觀的結論成立是有條件的。雖然我們不去細究這些條件的用處，但走馬觀花看看這些條件是有益的：

條件1 風險中性

競標者既不激進，也不保守，他的目標是最大化自己的預期收益。這點好理解，不解釋了。

條件2 私人估價

估價是競標者的心裡底價，這個底價是保密的，且不受其他競標者底價的影響。比如標的物是茅臺酒，如果競標者買來自己飲用，則符合私人估價的條件。但是，如果競標者是買來轉賣的就不符合這個條件了，因為能不能賣出去會依賴於其他人的心裡底價。

條件3 對稱（同分布）

競標者雖然不知道其他人的心裡底價，但是知道所有競標者的心裡底價來自同一個機率分佈。

條件4 獨立

競標者之間沒有私下串通，不存在所謂的圍標。

條件5 理性

不存在抬價的競標者。

拿廣告領域的拍賣，尤其是網際網路廣告的拍賣，這些條件都很苛刻。

當某個廣告主高度依賴某個流量平臺獲取使用者時，在廣告競價時就會從風險中性轉變成風險規避，因為失去廣告位帶來的損失會更大。此時，風險中性的條件不成立。

網際網路上既存在自助投放的廣告主，也存在倒賣流量的平臺型廣告主，所以也不滿足私人估價的條件。

淘寶在雙十一來臨前獲取流量的誇張方式，與中小廣告主對廣告位的估值邏輯顯然不同，違背競標者對稱的條件。

另外，廣告主之間私下串通並不是偶然現象，獨立性條件也很難滿足。

當然，拍賣組織者的收益並不是拍賣設計唯一的目標。經濟學和社會學通常會最佳化兩個目標：一個是賣方收益，另一個則是買賣雙方的總收益。後一個目標稱之為市場效率，市場效率更關乎生態的長期良性發展。

拍賣理論中的第二個基本問題

英式拍賣、荷蘭式拍賣、一價拍賣和二價拍賣，哪種形式最有市場效率？

答案是二價拍賣，這才是二價拍賣最吸引眼球的優勢。

自1960年代，Vickrey把二價拍賣養育成人推給世人後，二價拍賣之後獲得的所有榮耀與起起落落，都與“最優市場效率”這一特質密切相關。

而這一結論的得出，其實是收益等價定理證明的一個副產品。所以我們有必要簡明扼要地說一說收益等價定理的證明思路。

收益等價定理的證明步驟

Step 1：把拍賣作為一種博弈形式，計算它的納什均衡報價策略。納什均衡報價意味著，任一競標者都沒有改變自己報價的動機了。這樣就獲得了所有競標者的均衡報價。

Step 2：有了競標者的均衡報價，根據拍賣的支付規則分別計算不同拍賣形式下的拍賣組織者收益。

Step 3：比較四種拍賣形式下的拍賣組織者收益即可。

亮相：首次大規模型應用

2.1 “說真話”的使命

在上面收益等價定理證明步驟Step 1中，我們會直接得到一個結論：

二價拍賣存在唯一的納什均衡點b=v

這裡b是競標者的報價，v是競標者的心裡底價。把 b=v 換個表達方式：

嘴上報出來的 = 心裡實際想的

這就是二價拍賣最讓人豔羨的東西——說真話是二價拍賣中競標者的最優策略。

市場效率最優，換句話說，就是把合適的東西分配給合適的人。當競標者說真話時，機制設計者就極容易實現效率最優的分配。因此，二價拍賣是效率最優的分配機制，它天然承擔著經濟學家、社會學家和政治家們的偉大歷史使命。

不過，1961年，當哥倫比亞大學經濟學教授Vickrey 得出這個結論時，二價拍賣在人間幾乎還沒有什麼實際用處，只是一個理論上的寵兒。

2.2 在紐西蘭折戟沉沙

直到29年後的1990年，紐西蘭舉行了人間首次無線頻譜拍賣。在經濟學專家的推動下，二價拍賣登上了舞臺。原因無它，頂著“最有市場效率的拍賣機制”的光環，不讓它上都沒天理了。然而，成也效率，敗也效率，理想很美好，現實很骨感。二價拍賣在紐西蘭完成了它的首秀，以失敗而告終。

紐西蘭政府的做法是：把要出售的無線頻譜按波長分成了幾個區間，每個電信運營商任選一個或多個區間參加拍賣。這樣，實際上是在同時進行多場二價拍賣，而不同波長的頻譜對運營商來言是可以相互替代的。顯然，這已經不是個單純的二價拍賣了。從理論上講也不再有“市場效率最優”的結論。但“市場效率最優”的光環迷惑了人們。

拿超高頻譜8MHz許可證的拍賣來講，總共分成7個波長區間，以下是這7場二價拍賣的結果。

1990年紐西蘭超高頻譜拍賣：8MHz的許可證

因為競標者（運營商）可以不加限制地參加多場拍賣會，而只要獲得其中一場的勝利，就能取得許可證。如果是你，你會採取什麼樣的報價策略？

我也不知道，但我清楚，說真話肯定不是最優策略了。我們看其中有一個公司TAB的報價策略：

同時存在多場二價拍賣時，競標者的一個報價策略

• 選擇：參加全部拍賣會
• 報價：在全部拍賣會上，都報一箇中等的市場價格

TAB公司的投機心理很明顯：因為是二價拍賣，只要在一場拍賣中獲勝，那他會以低於市場價格成交。結果TAB如願以償。

在7場拍賣中，TAB公司始終以40萬1千新元報價，最終在第6場拍賣中以10萬新元的次高價成交。顯然，TAB公司的策略性報價並不是真實的心裡底價，他說謊了。

現實是如此殘酷，啪啪啪地打著剛出道亮相的“二價拍賣”的臉。這一年，二價拍賣之父——Vickrey已經76歲了，距他獲得諾獎還有6年。

除了存在說謊這樣的策略性報價外，紐西蘭頻譜拍賣遇到的另一個難題是：參加競買的運營商過少。從拍賣理論上講，是否講真話，是否是最有效率的機制，與競標者數量無關。但在實踐中，必須解決人少帶來的corner case。

如果只有一個競標者，如何進行二價拍賣？設定保留價是一種方法。因為是二價拍賣，要麼以保留價成交，要麼不成交，實際上是一種定價，這並不是最有效率的方式。

如果只有兩個競標者，那麼二價拍賣極易誘導這兩個競標者私下串通，一個報高價，一個報極低價格。這當然也不是市場效率最優的結果。

二價拍賣來到紐西蘭走一遭，除了給研究者留下一堆研究案例外，它悄悄地走了，不帶走一片雲彩。

2.3 在美國徹底告別頻譜拍賣

1995年，美國無線電頻譜拍賣設計吸取了紐西蘭的慘痛教訓，果斷放棄了二價拍賣。他們採用了同時多輪增價拍賣，這是經過改造的變形的英式拍賣。

同時多輪增價拍賣（變形的英式拍賣）

• 多個秘密報價：多個無線頻譜區間拍賣會同時舉行，競買人可以為任何一個或多個頻譜分別報價，這個報價是秘密的。
• 公佈最高價：在每輪拍賣結束後會公佈上一輪的最高報價，並在此基礎上增加5%或10%作下一輪的起價。
• 價高者得：直到每個頻譜拍賣都無人再報價，拍賣結束。每個頻譜的最高報價的運營商獲得許可證，並支付其報價。

這個經改造的英式拍賣在美國頻譜拍賣市場應用得很成功。這套機制沿用至今，仍在5G的頻譜拍賣中發揮著巨大作用。推動設計這個機制的經濟學家Milgrom 於2020年獲得了諾貝爾經濟學獎。

就在二價機制黯然退出無線頻譜市場後，二價拍賣之父Vickery於1996年獲得了諾獎，但同年他不幸告別了人世。

Vickrey的告別帶著諾獎的光環，他精心研究的效率最優的二價機制告別了無線頻譜市場，跟千億美元規模的金礦說再見了！

不過，二價機制的命運太好了。沒過多少年，網際網路時代緊跟著到來了，給二價機制帶來新的生機，這裡有規模更大的金礦。

而二價機制能再次崛起的貴人則是Google這家公司。

成長：理論上的完美擴充套件

3.1 二價機制理論上的擴充套件

在介紹Google如何成為二價機制的貴人前，我們對二價機制的定義再明確一下。二價拍賣是個說真話的機制，前面我們僅僅對標的物是單一物品的場景進行了證明。事實上，如果有多個物品在拍賣，那麼對應的二價機制是什麼樣的？這是個仁者見仁，智者見智的事。

紐西蘭政府把多物品的二價機制簡單地當成多個平行的單一物品二價拍賣，但這並沒有延續單一物品下二價拍賣效率最優的優勢。

Google把多物品的二價機制理解成在一個報價序列裡，依次按下一位報價支付。這是一種最直觀的推演。但是，在下一章節我們會看到，Google想錯了。這仍然不是效率最優。

如果要保持效率最優這個特點，二價機制在多物品拍賣中的推廣其實是VCG機制，二價拍賣是VCG機制在單物品拍賣場景下的特例。

什麼是VCG機制？

重複說一下經濟學中的市場效率是什麼，效率是買賣雙方收益的總和。這與標的物的分配規則有關。假設一種一極端情況，只有1個賣方和1個買方A，A獲得某物品可以產生的真實價值，比方說是100元。不管A是如何支付的，因為沒有其他買方，則分配給A就是效率最優的，此時：

賣方和買方A的總效率=賣方收入+A的收益=100元

這時來了一個新的競買者B，比方說B能產生120元的真實價值。此時若把物品分配給B，A的收益變成0，自然也不會向賣方支付。此時：

賣方和買方A的總效率=賣方收入+A的收益=賣方收入

為了使“賣方和買方A的總效率”不變，只要B支付100元即可。這樣，從整體上看，原來“1個賣方和1個買方A組成生態效率”沒有任何損失，新加入的B則產生了新增收益120-100=20元。所以，整體市場效率仍然是最優的。

如果你對數字足夠敏感，你會發現，此時B的支付數額100元，恰恰是A獲得物品能產生的真實價值。因為二價拍賣是說真話的機制，這恰好是二價拍賣中的次高報價。

沒錯，二價機制在多個物品拍賣場景下的擴充套件邏輯應該是最優效率保持不變。

看懂了上面邏輯的同學，請往下看。

3.2 VCG機制的思想：誰挖得坑誰填

VCG機制在網際網路廣告中的應用，我從下面這本書中找個例子說明。順便，我們能體會一下VCG機制的哲學思想。

假設某網頁上有3個廣告位A，B和C，每個廣告位的點選率分別是0.5、0.2和0.1。有4個廣告主淘淘、東東、多多和條條報價，表明自己願意為每次點選支付多少錢。

Helen網站上的廣告位和點選率

四個廣告主為每次點選願意支付的價格報價

假設他們都按自己的心裡底價去報價。VCG機制的分配規則和支付規則如下：

分配規則

按照報價多少，依次將最好的廣告位（即點選率最高的）分配給報價最高的廣告主，次好的廣告位分配給報價次高的廣告主，以此類推。

支付規則

當發生點選時，按照給其廣告主帶來的效率損失支付（具體計算方法見下文）

具體到這個例子

1）分配規則：淘淘獲得廣告位A，東東分配到廣告位B，多多則在廣告位C上展現廣告，條條因報價太少沒有獲得位置。

2）支付規則：經計算，當發生點選時，淘淘、東東和號號分別按照3.32元、1.4元和1元來支付。

這個支付數額是怎麼計算的？我們以淘淘的支付3.32為例進行說明。如果你想深刻理解VCG機制，務必要理解下面的計算邏輯。它反應了一種哲學思想：誰挖得坑誰來填。

是的，VCG機制的基本思想是：給系統中其他人造成多少效率上的影響，你就支付多少錢來彌補。因此，先要計算淘淘給其他廣告主帶來的效率影響。

Step 1：當淘淘不參與這個廣告位拍賣時，東東、多多和條條依次獲得廣告位A、B和C，市場總效率可以如下計算：

4.6×0.5+1.8×0.2+1×0.1=2.76元

Step 2：當淘淘參與進來後，東東和多多分別獲得廣告位B和C，而條條失去廣告展現機會，東東、多多和條條的市場總效率可如下計算：

4.6×0.2+1.8×0.1+1×0=1.1元

Step 3：兩種情況下的效率之差為：

2.76-1.1=1.66元

這就是淘淘的廣告每展現一次，淘淘對其他廣告主帶來的總效率的影響。這個影響應該由淘淘補償給廣告平臺。因此淘淘為每次點選支付的價格應該為：

1.66/0.5=3.32元

東東和多多的支付價格計算也與此類似。

3.3 VCG機制：說謊沒有收益

但是故事還沒完，排名第一的淘淘為每次點選支付3.32元，這樣的價格會不會讓排在第二名的東東羨慕嫉妒？因為東東的心裡底價是4.6元，爺也能支付得起啊！

那東東會提高自己的報價以獲得第一個廣告位嗎？比如東東把報價從4.6提高到5.1，淘淘沒有調整報價，東東就能獲得廣告位A。東東會這樣做麼？

先說結論：不會，因為這樣做不會使東東的收益增加。

1）當東東按心理底價真實報價4.6元時，獲得廣告位B，每次點選的支付為1.4元，因此廣告每展現一次，東東的收益為：

0.2×(4.6 – 1.4)=0.64元

2）當東東提高報價到5.1元時，他獲得廣告位A，根據VCG的機制，他為每次點選要支付3.56元（與上面淘淘的計算過程類似），此時每次展現給東東帶來的收益為：

0.5×(4.6 – 3.56)=0.52元

顯然，在VCG機制下東東的報價不會高於自己的心裡底價。類似的分析也可以證明，東東的報價也不會低於自己的心裡低價。

在VCG機制下，說真話是最優報價策略。

說真話是最優報價，意味著廣告主不用揣摸競爭對手，說心裡話最簡單，也是最有利的，這節省了廣告主的決策成本。

說真話是最優報價，意味著最好的廣告位分配給價值最高的廣告主，市場效率得以保證。

說真話是最優報價，意味著廣告平臺的拍賣設計簡單了許多，廣告平臺的收益雖然不是最大的，但整個生態蛋糕會越做越大，抵禦其他風險的能力會加強。

3.4 VCG機制的尷尬：假如我們一起說謊

VCG機制在理論是如此完美，然而在實踐中卻極少使用。這是為什麼呢？

我以為最核心的原因是，人性中天然有說謊的傾向。如果人性的主流是講真話，那麼二價拍賣也好，VCG機制也好，就沒什麼稀罕的了。正因為人傾向於隱瞞自己的真實情況，VCG機制才令人激盪。

還以上面的例子說明。納什均衡只能保證當別人說真話時，我說謊是沒有利益的，但是如果有多個人都說謊話呢？比如淘淘和東東恰好都說了謊話：

按VCG的分配和支付規則，每次廣告展現，淘淘的收益是1.62元（講真話時的收益只有0.84元），而東東的收益不變。這樣淘淘就嚐到說謊的好處。無論出於什麼原因，比方說總廣告預算縮減，賬戶最佳化人員的認知水平不足等，只要有一部分廣告主在說謊，就總會有一部分廣告主嘗試到不講真話的獲利。總之，VCG機制遭遇到信任的危機。

3.5 廣告平臺的承諾值得信任嗎

遇到資訊危機的還有廣告平臺。廣告主如果把真實的轉化資料告訴廣告平臺，廣告主真那麼信任廣告平臺的承諾嗎？正如我告訴你我的底價是5元，而VCG算出來我應該支付3元，廣告平臺能恪守承諾真的只收我3元嗎？畢竟我也不知道其他廣告主的底價，我無法驗證廣告平臺是否說謊。再說廣告平臺的計費方式也在變化，廣告主最好的報價策略永遠是相機抉擇，而不是一股腦把自己的真實底價告訴合作方。

還要說一點，我們都是有限理性的。在網際網路上眾多流量下，任一廣告主都只能其中一部分廣告位報價，不可能窮舉後再靜態排序。在這種情況下，真實報價也僅僅是VCG機制下眾多均衡之一，而不是唯一。如果我預計在一些流量上競爭不過別人，我為什麼要說實話認真報出一個真實底價呢？極端情況下，我會報出一個異乎尋常的低價，要麼獲勝給我個驚喜，要麼失敗但我什麼都不會損失。尤其流量之間有很強的替代性時，這種投機就很容易發生。在搜尋廣告裡，我們會發現一些廣告主會以非常低的價格在海量的長尾詞上報價，就是這個心理。這也是說謊的均衡之一。

總之一句話，在現實的拍賣中，和德州撲克一樣，藏好自己的牌是重要的。所以，Google也沒有選擇VCG機制。

迴歸：披著二價外衣的GSP機制

4.1 無奈之舉，還是陰差陽錯

1994年，二價拍賣黯然退出了無線頻譜市場，1996年，二價拍賣的創始研究者Vickey去世。二價拍賣這個明星機制陷入了低谷，把二價拍賣從低谷拉起來再次捧上神壇的是Google。不過，當時Google這麼做的原因既是無奈之舉，也是陰差陽錯。

用拍賣機制出售搜尋引擎廣告的做法，不是Google創造的，而是來源於一家早期的搜尋引擎GoTo。最晚，他們於1998年開始將拍賣用於廣告出售。GoTo在早期也因為這樣的商業模式而大獲成功。2003年，Yahoo！以16.3億美元收購了它，並改名為Overture。那時，Overture採用的是一價拍賣機制的推廣形式，Generalized First Price Auction，簡稱GFP。Yahoo！為此還申請了大量專利，這其實成為了二價拍賣再次興起的導火索。

Google把Overture的一價拍賣機制學過來之後，限於Yahoo！的這些專利，被迫在機制上做了很多改動和創新。其中就有把一價拍賣改成二價拍賣的動作。Yahoo!起訴Google後，Google就啟動對外宣傳說，他們的搜尋廣告機制採用了諾貝爾經濟學獎獲得者的研究成果，這是最有效率的一種拍賣方式。暗示他們用的是Vickrey的二價拍賣，跟Yahoo!的專利無關。

但是，Google的這個說法是錯誤的，它們使用的並不是二價拍賣，也不是更廣泛的保持效率最優的VCG機制，而是所謂的Generalized Second Price Auction，簡稱GSP拍賣。這個烏龍隨著Google的業務發展，迅速把二價拍賣再次帶火，推上神壇。

2004年，Google 上市，距二價拍賣之父Vickrey去世過去了八年。戎老溼覺得，Google應該設立一個Vickrey基金，支援經濟學和數學的研究，因為它借Vickrey之名忽悠世人賺翻了。

4.2 GSP機制及三個核心結論

GSP拍賣雖然表面上也可以說是二價拍賣的推廣，但從博弈均衡、市場效率等卻與二價拍賣乃至VCG機制完全不同。下面我仍用一個數字例子說明。

比如3個廣告主分別叫小拼、小乎和小書競爭2個廣告位A和B，每個廣告主對每次點選的心理底價及每個廣告位的點選率如下所示：

廣告主對每次點選的心裡底價

廣告位的點選率

GSP拍賣的基本規則是這樣的：

GSP拍賣（廣義二階價格拍賣）

• 報價：每個廣告主的報價，代表他願意為每次點選而支付的錢。
• 廣告位分配：報價最高的廣告主獲得最好的廣告位，最好意味著點選率最高，即廣告位A；報價次高的獲得次好的廣告位，即廣告位B，依次類推。
• 廣告主支付：每個廣告主按照其排在其後一位的廣告主的報價為每次點選支付。

比如，3個廣告主小拼、小乎和小書報價分別為4元、2元和1元，按GSP機制分配廣告位A給小拼，廣告位B給小乎，而小書沒有獲得廣告位。

如發生了使用者點選，小拼支付2元（這是排在他後一位的小乎的報價），小乎支付1元（這是排在他後一位的小書的報價），小書沒獲得廣告位，不用支付。

關於這種GSP機制，我們知道三個核心結論就夠了，這三個核心結論是：

結論一：GSP拍賣存在穩定的納什均衡報價策略，但並不唯一的。

結論二：GSP拍賣中講真話並不是一個佔優策略。

結論三：GSP拍賣中存在一種無嫉妒均衡報價策略，它對廣告平臺的收益大於VCG機制的收益。

4.3 GSP機制的納什均衡

下面簡單用數字例子說明下這三個結論，嫌繁瑣的話可以略過。

關於結論一。

比如上面的3個廣告主小拼、小乎和小書的報價依次為4元、2元和1元，下面以廣告主小乎的報價為例說明這是個納什均衡報價。

當其他廣告主報價不動時，小乎能否改變當前報價2元從而獲利？如果能，就不是均衡；如果不能，就是均衡。

很明顯，小乎的報價在1至4元之間調整時，他的收益不會有任何變化，因為排序和支付按GSP規則都不會變。此時，每次廣告展現給小乎帶來的收益是：

0.05*（4-1）=0.15

那麼，小乎會提高報價至4元以上以爭得首個廣告位嗎？不會，因為一旦這樣做了，他需要為每次點選支付4元而不是2元（他的下一位成了小拼）。對他這並不划算。當然，小乎也不會把報價調整到1元以下，因為這樣他就獲得不了廣告位了，收益為0。這就是說，小乎當前處在均衡報價狀態。小拼和小書的分析也類似。這3個廣告主單獨改變自己的報價都不會獲得更好的收益，所以報價（4，2，1）是一個納什均衡。

4.4 GSP機制的無嫉妒均衡

關於結論二。

（4，2，1）雖然是個納什均衡。我們回到小乎的場景中，他改變自己的報價不能獲利，但是他又覬覦小拼為每次點選僅花2元的誘人價格，這叫什麼呢？這叫嫉妒。

我們可以給“嫉妒”下個定義：假設小乎和小拼交換報價，小乎獲得的收益 與當前收益的差值，就是小乎對小拼的嫉妒值。小乎和小拼交換報價後，小乎的效用變為：

0.1*（4-2）= 0.2

與當前收益相比，它們的差值為0.2 - 0.15 = 0.05。這就是嫉妒值。

有了嫉妒，怎麼發洩呢？小乎發現，他能提高自己的報價來減少這個嫉妒值。比方說小乎把報價從2元提高至2.5元，那麼上述差值就變為0了。此時，小拼每次點選的費用從2元升至2.5元，小乎獲得了心理平衡，不再嫉妒小拼了。

但是，不要忘記，螳螂捕蟬，黃雀在後。小乎嫉妒小拼時，小書也在嫉妒小乎。當小乎以2.5元報價讓自己的心態平靜後，小書的心理不平靜了：小乎1元一次的點選價格，也令小書嫉妒。同理，小書也想提高報價，釋放自己的嫉妒情緒。小書當前報價最低，沒獲得廣告位，從而效用是0。所以，小書對小乎的嫉妒值可以簡單表示為：

0.05*（2-小書的報價）

很明顯，當小書的報價從1元提升到2元后，她的嫉妒值就變為0了。換句話說，小書無嫉妒的均衡報價是2元。

現在又輪到小乎考慮了：因為小書提高的報價，按GSP規則，他現在的支付價格是2元，每次廣告展現給小乎帶來的效用變為：

0.05*（4-2）= 0.1

如果他與上一位的小拼交換報價，其效用變為：

0.1*（4-2.5）= 0.15

所以小乎對小拼的嫉妒值是0.15-0.1=0.05。如果小乎報價提升至3元，則上述嫉妒值變為0。因此，3元是小乎無嫉妒的均衡報價狀態。

當小乎把報價提升到3元后，處在廣告位A的小拼是什麼反應？小拼當下的報價是4元，實際為每次點選的支付是3元。他不會把報價降低到3元以下，因為那隻能帶來自己效用的下降；他也沒必要提升當前的報價，因為在第二價格拍賣下，那不會有額外的好處。因此，4元是小拼的均衡報價。

綜上，（4，3，2）也是一個納什均衡報價，且在這個均衡下，任何廣告主都不會嫉妒其他廣告主的支付價格。所以這個均衡又叫做無嫉妒均衡（Envy-Free Equilibrium）。從另一個角度說，講真話在GSP拍賣中不是一個佔優均衡策略，廣告主需要選擇不同的均衡報價以消弭自己的嫉妒心。

4.5 GSP機制的收益

關於結論三。

關於GSP機制和VCG機制對廣告平臺帶來的收益，我不再這裡進行繁瑣的說明了。理論上，VCG機制對平臺的收益是GSP機制無嫉妒均衡對平臺收益的下限。

所以，GSP機制雖然沒實現市場效率的最優，但換回來的是平臺收益的提升。這也是個不錯的交換。GSP機制迅速成為了網際網路廣告的業界標準做法。

然而，現在GSP這個披著二價外衣的機制要告別網際網路廣告。這意味著二價機制這個網紅也會慢慢從我們視野裡消退。

二價機制再一次退出的原因也很簡單，在暗拍機制下，報價和實際支付之間的空檔會被各種因素擠壓，實際執行的GSP機制在向GFP機制靠攏。這涉及到前面提到的一個問題：廣告平臺的承諾值得廣告主信任嗎？

告別：與時俱進的二價機制

從二價的歷史發展可以看到，真正效率意義上的二價機制並沒有在人間成功的應用。1990年代在無線頻譜市場的應用，敗給了經改造後的英式拍賣；而在網際網路廣告上大行其道的GSP機制，則是披著二價外衣的“假”二價機制。那個令經濟學家們心潮澎湃的二價機制從來沒有在實踐中驗證過它所謂的“效率最優”的人設。

是人類天性中有說謊的傾向，還是二價仍沒找到它施展身手的舞臺？

戎老溼無法在這裡給出答案。不過，戎老溼堅信，二價還會回來的。因為追求講真話，追求效率至上是人類永恆的目標。而二價乃至VCG機制那漂亮的結論，無論何時都是誘人的。

我們也許未來會在元宇宙裡看到二價的身影，那不是人間，卻勝似人間。那是一個新的虛擬生態，人間的各種不真實也許會投射到那裡，二價也會呈現新的面貌。