我認為庫爾特-哥德爾（Kurt Gödel），之所以沒有像達爾文、牛頓、愛因斯坦和亞里士多德等許多大思想家那樣有名，是因為大眾很難理解一個數學家的工作。科普工作者很容易向大眾解釋達爾文或牛頓的基本思想（愛因斯坦的思想更復雜一些）。因此，很多人至少對愛因斯坦和牛頓的一些工作的基本思想（理論）有一個很好的瞭解。然而，數學家的貢獻常常被忽視，庫爾特-哥德爾也不例外。
我認為，不完全性定理（ the incompleteness theorem，不完備性定理）的思想，是現代真正革命性的思想之一，是邏輯學中最偉大的成果之一。很多人都說庫爾特-哥德爾與亞里士多德齊名，不完備性結果是亞里士多德以來邏輯學領域的第一個重大成果。
- 哥德爾
哥德爾於1906年出生在奧匈帝國的布魯恩鎮——現在的捷克共和國布林諾市。他於1924年畢業於布魯恩的體育學院，然後在維也納大學學習物理、數學和哲學。
1929年，他以一篇精彩的論文獲得了數學博士學位，並繼續在維也納大學工作，直到他前往美國。然後，他與好朋友阿爾伯特-愛因斯坦一起在普林斯頓高階研究所任職。他的大部分時間都在與愛因斯坦散步和聊天。
他於1976年結束了在普林斯頓高等研究院的工作，幾年後因飢餓和疲憊而去世。
1929年，他發表了關於一階邏輯完備性的博士論文，對於只有23歲的他是一項非常了不起的成就。這些成果後來促成了他在25歲時提出的第一和第二不完備性定理。隨後，他在集合論方面做了一些開創性的工作。1949年，他發現了愛因斯坦場方程的新解。雖然他是一位數學家，但他也對廣義相對論做出了重大貢獻。
在20世紀初，數學的基礎正處於危機之中。伯特蘭-羅素（Bertrand Russell）指出，集合理論是不一致的，而集合理論又是數學理論的基礎。對於一個數學家來說，這是最糟糕的事情。
一個公理系統稱為一致性（自洽，相容），如果它沒有矛盾，也就是說沒有從公理同時匯出一個命題及其否定的能力——百科
康托爾證明，如果存在一個無限集比如自然數（1，2，3，4，5，6，......），那麼有無限多不同的無限集。如果不深入研究數學，你很難弄清楚這意味著什麼。這可以說是標準集合理論的一個自然結果。
無限的東西讓人難以想象。人們對什麼是無限以及是否可以有無限多不同的無限並不那麼清楚。如果一個無窮大比第一個無窮大大，那麼小的就不可能是無窮大，對吧？數學家試圖找到一個一致的集合理論，與此同時，許多人對康托爾關於無窮大的研究持謹慎態度。戈特洛夫-弗雷格試圖把事情建立在一個堅實的基礎上。他認為：
難怪我們不理解所有這些關於無窮的事情，因為我們甚至不理解數字2。數字2究竟是什麼？數字3是什麼？自然數是怎麼回事？我們知道如何知道2+2=4？
他理論上認為這是數學中大量問題的根源，人們沒有充分理解數學的意義。
弗雷格的研究深刻地影響了羅素。羅素一直在閱讀弗雷格，並意識到，有一個不一致的弗雷格的系統。
親愛的弗雷格教授，我可以大膽地建議，你的理論中有一個不一致的地方......
弗雷格立即看到了這一點，並意識到這是毀滅性的。它關係到整個數學。
有一個非常古老的哲學難題，叫做說謊者悖論，悖論的表述很簡單：
這個句子是假的。
如果你思考一下這個句子，有兩種可能性：要麼是真的，要麼是假的。如果它是真的，那麼它說的就是事實，那它就是假的。所以如果它是真的，那正如句子所說，它是假的。
羅素意識到，這個問題在數學上也是可以推廣的。只需考慮一個集合，例如，自然數的集合，正在讀這篇文章的人的集合，你坐過的椅子的集合等等。還有一個集合的集合。
羅素構造了一個集合S：S由一切不屬於自身的集合所組成。然後羅素問：S是否屬於S呢？根據排中律，一個元素或者屬於某個集合，或者不屬於某個集合。但對這個看似合理的問題的回答卻會陷入兩難境地。如果S屬於S，根據S的定義，S就不屬於S；反之，如果S不屬於S，同樣根據定義，S就屬於S。無論如何都是矛盾的。
數學不應該允許這樣的事情發生。然後，羅素向弗雷格解釋了他的研究結果。這是弗雷格的問題，也是集合理論的問題。在某種程度上，弗雷格讓問題變得清晰起來，因為他對自己的假設非常清楚。
集合論中一個重要的概念是冪集。冪集是所有子集的集合。根據集合理論，任何集合都存在對應的冪集。
所謂冪集（Power Set）， 就是原集合中所有的子集（包括全集和空集）構成的集族。可數集是最小的無限集；它的冪集和實數集一一對應（也稱同勢），是不可數集。不是所有不可數集都和實數集等勢，集合的勢可以無限的大。如實數集的冪集也是不可數集，但它的勢比實數集大。設X是一個有限集，|X| = k，根據二項式定理，X的冪集的勢為2的k次方——百度百科
- 喬治-康托爾，集合理論之父
一個集合的勢（cardinality）是集合的大小，即有多少元素在裡面。因此，如果兩個集合具有相同的勢，那麼這兩個集合可以一一對應。因此，不透過計算就能知道兩個集合的大小關係。例如，我不需要做任何計數就能看到一個房間裡的座位比人多，我只需要知道每個人和座位配對情況。
這一點很重要，因為它對無限的集合也有效。但是，這如何與冪集聯絡起來，以理解勢的概念？
這就引出了康托爾定理（Cantor’s theorem）
康托爾定理告訴我們，一個集合本身的勢嚴格小於其冪集的勢。自然數集的冪集是無限的，它們是比自然數集本身更大的一個無限集。自然數集的冪集的冪集比自然數的冪集要大，不斷取下去，會得到一個越來越大的冪集（一個更高階的無窮大）。如果存在一個無限的集合，就有無限多的無限冪集，而且一個比一個大。這導致了各種奇怪的難題。
有無限多的無窮數的想法讓人感到很不安，自然數集是最小的無窮集。有多少個偶數自然數？偶數集比自然數集小嗎？並非如此，這是人類的認知噩夢，這裡不展開討論。
想象一下，有一個無限大的酒店，裡面有無限多的房間，而且都住滿了客人。然後又來了一個客人，想要一個房間。前臺說："對不起，我們不能收留你，酒店已經滿了。" 但是，老闆說："可以收留！我們可以把這個人移到1號房間，把1號房的人搬到2號房，然後把2號房的人搬到3號房……現在就有一個額外的房間了。這就是在無窮大中出現的一個奇怪的現象，總是可以騰出一個房間。
這裡，我解釋一下當時瀰漫在數學文化中的問題。其中一個來自於歷史上最偉大的數學家之一——大衛-希爾伯特。
希爾伯特有一個計劃，又稱證明論計劃，是在20世紀初數學奠基問題的論戰中，旨在保衛古典數學、避免悖論以解決數學奠基問題的一種方案。
20世紀初，悖論尤其是羅素悖論的出現，引起了當時數學界和邏輯界的極大震動。它直接衝擊了以嚴謹著稱的數學和邏輯學科，動搖了傳統的數學概念、數學命題和數學方法的可信性標準，也就是說悖論的出現關係到整個數學的奠基問題，從而引起所謂的第三次數學危機。
所以他想到的是把那些關於無限多無限的瘋狂想法限制在更合理的東西上，比如說有限集。對於每一個有限集，都會有一個更大的有限集。
所以他想在有限數學（離散數學）的基礎上建立一個牢固的理解，然後再在其上建立無限數學。無限的東西最終會成為離散的有限數學之上的一種形式上的偽裝。這只是數學的規則。所以我們可以像制定國際象棋的規則一樣來對待它。
國際象棋中的 "車 "是什麼？無非是扮演車的東西。某些規則支配著它。不管它是用木頭、紙還是瓷器做成的，都不重要。車只是一個扮演棋子角色的物體，同時具有規則賦予它的所有特徵。
那麼，數學遊戲怎麼會和國際象棋一樣呢？無論你如何改變數學中符號背後的含義，結果都是一樣的。數學是一種邏輯上的結果。這就是我們所做的一切：將邏輯結果具體化，這也是促使伯特蘭-羅素說的：
數學可以被定義為這樣一門學科：我們永遠不知道我們在談論什麼，也不知道我們說的是否是真的。
它只是一個運算的符號。希爾伯特想保留數學的無限特性，他曾經說過一句很有名的話。"沒有人可以把我們從康托爾為我們創造的天堂中驅逐出去。"
在伯特蘭-羅素悖論的危機之後，現代集合理論的研究者們一直試圖用更好的方式來表述問題，但卻沒有羅素那麼成功。因此希爾伯特的計劃至關重要。為了做到這一點，希爾伯特需要完全依靠有限數學來證明他的證明的完備性，以建立無限數學的必要一致性。
哥德爾的第一不完備性定理
1931年，哥德爾表明，當數學中存在一個句子時，如果系統是一致的，那麼這個句子就不是定理，也不是不是定理。他的意思是，數學中存在一個句子，如果它是一致的，它就不能從數學中推匯出來。如果它不一致，那麼它就可以。然而，這又帶來了另一個問題。
我們需要回顧一下說謊者悖論，哥德爾也擔心一個說謊者：我是不可證明的。如果它是可證明的呢？那麼它一定是假的，因為它說它是不可證明的。所以這就是系統中的不一致。所以，如果你能證明那句話，你的系統就不一致。
另一方面，如果它是不可證明的呢？那麼它所說的就是真的，但無法證明。這是剩下的唯一選擇。如果系統是一致的，這個句子就是真的，但在系統中無法證明。
哥德爾的基本思想非常簡單。他一直在思考說謊者悖論。這對希爾伯特來說是個問題。希爾伯特認為人們應該透過玩這個正式的遊戲來重新掌握所有的數學知識。在正式遊戲中，他的意圖只是透過規則來運算子號。
希爾伯特的第二個問題：哥德爾的第二個不完備性定理
如果系統S含有初等數論，當S無矛盾時，它的無矛盾性不可能在S內證明。
這意味著，任何無矛盾的公理體系，只要包含初等算術的陳述，則必定存在一個不可判定命題，用這組公理不能判定其真假。也就是說，“無矛盾”和“完備”是不能同時滿足的！這便是聞名於世的哥德爾不完全性定理。
當數學不一致時，很多研究就不能繼續下去了。然而，這個危機只涉及集合理論，集合理論陷入危機並不意味著整個數學都陷入了危機。當涉及到集合理論時，我們遇到了麻煩，但這並不意味著數學的其他部分就停滯不前了。
這些只是關於系統的事實。數學總會有盲點，這是事實。我們不可能推匯出一個系統的一致性，不可能推匯出系統的所有真理。我們該怎麼辦呢？與之共存。這些是關於數學的數學定理，而我們現在有元數學定理，它是在普通數學之上的一層。
元數學與一般數學理論的關係有點像計算機中應用程式和普通檔案的關係。
我們只是要接受它們。因此，它們對數學和邏輯等各方面都有重大影響，顯然也對計算有影響。計算機是哥德爾系統的一種例項化，會有盲點。這讓一些人認為“這些結果不僅僅是數學結果”，然後他們會深入瞭解計算的本質或者機器思維的本質。
人類思維和計算性機器思維之間有區別嗎？這也是哥德爾的結果之所以如此著名的原因之一，因為這些結果對理解人類思維很有意義。哥德爾實際上表明，數學中存在著 "盲點"（無法證明的真理）。但是，哥德爾句子 "這個句子是無法證明的 "的真理是簡單而明確的。
所以有了盲點，任何一種算法系統都會陷入困境，而我們人類可以直接接受不一致的事實。所以這是一種非常自然的思維方式，因為看起來人類的思維方式和機器的思維方式有本質上的不同。人類的大腦只是一種由神經元而不是矽製成的計算機。這種思路表明，
看起來機器思維有一些根本性的不同，它有這些哥德爾盲點，而那些已經被證明的盲點對人類來說根本就不是盲點。
那麼，這是否說明了關於計算機和人類思維之間的差異的一些深刻而有趣的東西呢？我正在思考這個問題，哥德爾結果是否表明，並告訴我們人類和機器有一些不同之處。
對於人類來說，在處理邏輯和推理時，有不同的方法來評估事物，其中包括簡單的觀察、機率推理、直覺、甚至第六感等等。如果你試圖建立一個人類思維的模型，它就是沒有盲點，這很耐人尋味，因為機器有（盲點）。
哥德爾結果所顯示的是，在系統是一致的假設下，會有盲點。它並不是說系統中存在盲點。它只是說如果系統是一致的，就會有盲點。
在邏輯課堂上，老師在講課時，你往往會感到非常困惑，你的思維方式也會發生變化。然而，大多數人一走出教室就會恢復到他們預設的思維方式。
20世紀50年代，哥德爾經常到普林斯頓拜訪愛因斯坦，並與之散步。在與愛因斯坦的各種談話中，哥德爾得到了快速的發展。他沒有從事數學物理工作，但他足夠聰明，能夠快速掌握廣義相對論，以至於能夠在相對論領域發表驚人的成果。
他發現，愛因斯坦方程有一個奇怪的模型。該模型將宇宙視為一個大的旋轉盤，其中有封閉的時間線世界線。
世界線只是一種粒子透過時空的軌跡。如果你想想我的世界線，它從某個地方開始，當我在空間中移動時，隨著時間的推移，我就在這種軌跡上。一個封閉的時間線看起來就像一個在時間維度返回自身的世界線，這在本質上相當於一種時間旅行的形式。
就好像時空有一種結構，如果你足夠聰明，向正確的方向發射你所在的飛船，你就可以回到自己的早期。哥德爾在研究數理邏輯時，對廣義相對論有了新的認識，他說，愛因斯坦：
如果你走得足夠快（超過光速），你最終會回到你開始的地方，因為時間線世界線的概念。
它實際上在哲學上非常重要，因為人們提出的一些論點表明，時間旅行在邏輯上是不可能的。你經常在哲學界聽到這種說法。那是因為存在時間旅行，就會出現邏輯上的悖論（祖父悖論）。
哥德爾對愛因斯坦方程的解呢？它與最好的物理理論相一致，並與廣義相對論相一致，即存在封閉的時間線世界線。所以，時間旅行的說法並不太可怕。我們有可能生活在這樣一個符合愛因斯坦理論的世界裡。
