瞬時速度與曲線斜率

對於動態問題：非勻速運動物體，某一時刻的瞬時速度

運動物體的瞬時速度

對於靜態問題：曲線某一點的斜率

曲線圖像

以上兩個問題，讓我們對細微之處的變化產生了興趣。

數學家們已經給出問題的答案：

函式在一點處的導數

函式y=f(x)在點x0的某領域內有定義，當x在點x0處取得增量△x，y取得相應增量△y，若下列極限存在：

則稱f(x)在點x0處可導，且此極限值稱為f(x)在點x0處的導數，記為：

導數的符號

即：

若令x=x0+△x，則可寫為：

若上式極限不存在，或者無窮大，則稱f(x)在點 x0不可導。

單側導數

若極限

存在，則稱此極限值為f(x)在點x0的右導數，記為：

右導數記號

同理有左導數：

左導數

導數的關係

導數存在充要條件

函式在區間上的可導性

若函式f(x)在(a,b)內每一點都是可導的，則稱f(x)在(a,b)內是可導的。若f(x)在(a,b)內可導，且f(a)的右極限，f(b)的左極限都存在。則稱f(x)在[a,b]內是可導的。

導函式

若f(x)在某區間I可導，對區間I內任一x，都有唯一導數與之對應，我們可以得到導函式，記為：

導數