今年的諾貝爾物理學獎有一個明確的主題：複雜性（complexity）。複雜性的概念是任何人都可以想象的，但它的定義卻很難絕對確定下來。複雜性對許多人來說是 "我看到它就知道它是什麼 "的典型例子，但僅此而已。是什麼讓一些東西變得複雜？它是某些潛在過程的複雜性嗎？科學家在回答這個問題方面已經取得了進展。他們不僅成功地提出了 "複雜性 "的定義，而且還取得了有意義的結果來量化其行為。

• 一個基本自旋玻璃模型的示意圖

在物理學和數學中，複雜性這個詞是複雜系統研究的同義詞。然而，複雜系統與一個物理系統的 "困難 "沒有任何關係。例如，考慮一個單一的、孤立的光子。量子電動力學是用於研究這個物體（光子）的複雜理論，但在這種情況下，我們不是在談論一個“複雜系統”。

相反，複雜系統是一個簡單物體相互作用的模型，產生混沌、無序的現象。複雜系統就在我們身邊。例如，以我們所呼吸的空氣為例。如果我們把每個空氣粒子想象成一個單一的粒子，那麼，要單獨為這些東西的運動建立模型，實際上並不難。只有當我們把它們結合起來時，我們才開始看到一些有趣的現象。

最常見的無序系統之一是磁體系統。用相對簡單的成分，我們可以建立複雜和令人驚訝的磁性材料模型。

複雜系統的特徵是什麼？

現在，我們所說的 "混沌 "或 "無序 "是什麼意思？許多哲學家正試圖定義這個問題，這裡有幾個原則。

首先，系統的穩定性如何？穩定性指的是一個物理系統的狀態對它所處的初始條件的敏感性。物理系統是由方程組所支配的。但是，在大多數情況下，我們只能得到這些方程組的 "一般型式 "的解，除非我們插入一些關於初始條件的資料。

例如，想象一下臺球運動。作為物理學家，我們需要知道檯球杆的初始力和方向來預測檯球最終的狀態。初始條件的微小變化是否會導致最終結果的重大變化。就檯球而言，直觀的答案是肯定的。同樣，如果一個物理系統對其初始條件表現出高度的敏感性，我們可以認為這是一個複雜的系統。

你可能以前聽說過這個非常著名的關於混沌的“故事”：

平靜和暴風雨之間的區別是一隻拍打著翅膀的蝴蝶。

其次，如果我們把一個物理系統 "放大"，其行為會發生什麼變化？在之前的文章中，我談到過物理規律是如何根據系統的放大程度而彎曲和改變的。特別是，我談到了重正化的物理學，即科學家如何嚴格定義不同尺度上的系統的物理學。

重正化和簡單的伊辛模型（Ising Model）

為了瞭解一些複雜的系統，我將分析讓喬治-帕裡西（Giorgio Parisi）贏得諾貝爾獎的自旋玻璃模型的一個簡化版本。我將使用被稱為伊辛模型的東西作為一個的例子。我們會期望一個系統表現出不同的物理特性，這取決於我們是用一個宏觀的視角看它，還是用一個微觀的視角看它。為了解釋這個問題，我將帶領大家瞭解一下基本磁性材料。

假設有一個由64個等距的原子組成的網格，如下圖所示。假設這些原子中的每一個都有一個與之相關的屬性——比如每個原子的'自旋'方向。此刻，'自旋'是一個抽象的概念，用來捕捉原子的方向，目前，除了量化一個系統的嚴格無序程度外，它沒有真正的物理意義。為了簡單起見，假設只有兩種型別——上旋或下旋，並且我們可以選擇任何我們想要的構型，就像下圖一樣。

• 這是一個由原子組成的晶格，每個原子都可以選擇 "上 "或 "下 "的方向。例如，可以用標籤s_i來標記第i個粒子的自旋。

有了這個設定，我們可以構建與這個系統相關的模型量，這是很重要的。接下來的內容有些模稜兩可，但這背後有一個強大的理由。我們知道物理系統喜歡將能量最小化，所以我們需要一種方法來建立一個系統的“能量”模型。我們可以構造一個哈密頓量（Hamiltonian）。

由於每個原子都有自旋，我們可能想要“懲罰”附近原子具有相反自旋的構型（無序）。所以當一個特定的構型混合了上自旋和下自旋時，我們應該制定一個能量懲罰。一個這樣的模型是如下所示的哈密頓函式。

這個哈密頓函式中的第一項是對旋轉不一致時的懲罰。它增加了系統中每一對方向相反的自旋的能量懲罰。由於我們選擇的晶格包含64個原子，如果它是一個有32個上旋和32個下旋的構型，那麼無序性是最差的。另一方面，如果所有的旋轉都是向上或向下的，那麼就是最 "平靜 "的構型。第二項只是為了抵消任何額外磁場的影響。

字母J和B分別代表了無序效應和外加磁場的總體大小。這些字母被稱為耦合常數，它們衡量我們試圖捕捉的物理效應的強度。

事實上，這個模型已經與自旋玻璃模型格外相似。我們已經可以提出許多有趣的問題。例如，假設J不是固定的--而是隨機的。最小 的能量狀態會是什麼樣子？這不是那麼明顯。這個問題激發了帕裡西在自旋玻璃模型中的對稱性破壞方面的許多開創性工作。

現在，觀察這個晶格中的每一個原子是有點困難的，因為它們的數量實在太多了。因此，我們嘗試 "放大，將靠近的原子分組，並在每個位置分配類似於平均複合自旋的東西。一個好的方法是將它們分成一組（如下圖所示），然後給每個方塊附加一個 "平均 "自旋。例如，如果一個方塊中有兩個上旋和兩個下旋，那麼這個方塊的平均自旋將是零。這種平均方法就是我所說的 "放大 "系統的意思。

這在第一張圖中顯示。首先，我們將原子分組為四組，然後為每組四個原子分配一個混合值（平均自旋）。現在，我們把問題縮小到只有16個點，而不是64個點。

我們可以在這個放大的模型上精確地分配相同型別的物理量和模型，就像我們之前所做的那樣！但是，我們不再懲罰自旋差異。然而，我們現在不是對每個原子的單個自旋差異進行懲罰，而是對組本身的自旋差異進行懲罰。現在讓我們假設能量形式是相同的，但也許有不同的耦合常數，J和B。

• 這裡的哈密頓方程的形式仍然是相同的

如果是這樣，物理模型的形狀即使在放大後也是一樣的，我們就說該系統表現出自相似性。這意味著，在新的模型中，哈密頓函式結構是相同的。然而，新引數J和B可能需要改變，以說明分組的情況。因此，透過 "放大 "系統，我們已經將一對變數從（J，B）→（J'，B'）映射出來。如果我們重複這個過程，我們會發現進一步的演變（J，B）→（J'，B'）→（J"，B"）。弄清這些常數如何演化的科學被稱為重正化群。

有時，當放大時，物理效應會被淡化。以盒子裡的溫度為例。有一些直接的、可靠的定律可以成功地預測盒子裡的溫度，如果慢慢增加里面的原子的壓力。我們不需要知道每個粒子之間微妙的量子力學相互作用——這就是當放大時，它們的影響被淡化了。複雜系統則相反。複雜系統從具有相對簡單規則的系統中顯示出複雜的行為。

這與複雜系統有什麼關係？它們表現出某種比例不變性。這種現象意味著，當放大系統時，耦合常數J和B實際上並沒有改變。因此，在這種情況下，無論我們如何看待它，物理系統看起來都是一樣的。這是物質在相變過程中的一個普遍特徵，比如從液體到氣體。這類系統稱為臨界點。

總結

這僅僅是複雜系統的冰山一角。在未來的文章中，我希望能詳細介紹帕裡西研究的更復雜的自旋玻璃模型。具體來說，我想詳細介紹在無序系統中可以找到的各種 "平衡狀態"。

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