乾貨｜“植樹”引發的思考

全文概要：

文中利用“植樹問題”中“兩端都栽”、“一端栽一端不栽”、“兩端都不栽”與“封閉圖形”四種模型，幫助孩子探究其中規律：棵數與間隔數之間的關係。透過“化繁為簡”、“數形結合”、“一一對應”、“數學模型”以及“轉化思想”五種思想，從簡單問題入手，探究規律，建立模型，從而依靠模型解決實際問題，最重要的是讓數學思想方法真正內化到孩子的認知結構中。

▼

你可以用20棵樹設計出美妙的圖案嗎？

很久很久以前，阿拉伯數字王國的國王過20歲生日，羅馬數字王國派人送來了20棵珍貴的樹，作為生日禮物。

“20”大臣張榜招賢，凡是能巧妙地栽這20棵樹的人將有重賞。可是，誰也設計不出來。“20”大臣日夜思索，翻了大量的資料，又用石子進行了一次次的試驗。他畫了成千成萬個圖樣。畫著、試著，忽然，他眼睛一亮，看到了一張極其美妙的圖案。

“20”大臣立即把圖案奉獻給國王。國王見了非常高興，“20”大臣指著圖案對國王說：“陛下，您看，圖中所栽的樹不論橫數、豎數或斜數，每行都是4棵，這樣最多18行。”

國王讚歎不止，說：“這樣美麗奇妙的植樹圖案，我在任何公園都沒有看見過，簡直太美妙了。我要重重地賞你！”

“20”大臣據實說：“這是一位名叫山姆·勞埃德的數學家發明和設計的，我只是把他設計的圖案用到植樹問題上來。”

“好，好，你能用上這個圖案，也是有功的。”說著，國王宣佈了對“20”大臣的獎賞，並將這個圖案命名為“20圖案”，是世界上最美麗的植樹圖案。

國王立即派人按照“20圖案”把20棵樹栽在宮廷的花園裡。從此，這美麗的植樹圖案就一直流傳至今。

其實，“20圖案”是有其一定的規律的。在小學階段，“找規律”是小學生必須要學習的內容。

01“植樹問題”沒必要掌握？

找規律是小學數學中代數的重要知識，透過找規律地學習，培養孩子的觀察、分析、探索、創新等數學能力，最重要的在學習中幫助孩子能夠學會主動探究、主動思考的習慣。

《義務教育小學數學課程標準（2021年版）》（以下簡稱《標準》）中，根據兒童發展的生理和心理特徵，將小學階段根據學習時間具體劃分為兩個學段：第一學段（1-3年級），第二階段（4-6年級）。

《標準》要求，第一學段（1-3年級）的孩子能夠“探索簡單的變化規律”；要求第二學段（4-6年級）孩子能夠“探索給定情景中隱含的規律或變化趨勢”。

教材研究

從表中可以看出，三個版本的教材主要設計三種找規律形式，即“週期問題”、“植樹問題”、“間隔問題”。主要集中在三四五年級，這一階段的孩子有一定的知識基礎和思維能力，也是孩子形象思維向抽象思維過渡的關鍵時期，此時“找規律”問題有利於進一步發展孩子的思維能力。

02“植樹問題”，孩子真正學會了嗎？

由於思維活動的內隱性，我們並不能準確把握孩子的思維方式和效果，因此需要花費更多的時間鼓勵孩子分析題目，不斷的嘗試解題。文中以“植樹問題”為例，簡要闡述數學思想方法的滲透。

在學習“植樹問題”時，我們遵循從簡單到複雜，從單一模型到模型變式的過程。小年齡段的孩子重點關注題型的探索，高年齡段的孩子要學會從具體形象思維轉化到抽象邏輯思維，同時還要注意“植樹問題”的變式。

03如何幫助孩子掌握“植樹問題”？

滲透“數形結合”思想

在作圖過程中注意標記數字，讓孩子明確感知棵數與間隔數的一一對應的關係。從而得出：每個間隔對應一棵樹，但是第一棵樹是沒有間隔對應的。因此可以探究棵數與間隔數之間的關係：棵數比間隔數多1。（規律要孩子自己探究出來哦！）

但是，如果孩子不能透過畫圖感知二者關係的時候，可以讓孩子伸出自己的拳頭，依次伸出手指，觀察手指數與間隔數之間的關係。

孩子初步感知規律後，要透過自己畫圖驗證規律，然後再把規律與應用題相結合。

問題：小朋友們在全長20m的小路一邊植樹，每隔5m栽一棵（兩端都栽）。一共要栽多少棵樹？

孩子自己作線段圖，把20m的小路，每隔5m栽一棵樹，可以分成4段，也就是4個間隔，自然而然就是栽5棵樹。得到結論後，依次研究30米、40米、50米……，讓孩子做到熟練掌握。

同時，家長們還可以讓孩子透過作圖，建立模型，總結“一端栽一端不栽”、“兩端都不栽”兩個模型，探究模型中棵數與間隔數的規律。

“一端栽一端不栽”：棵數與間隔數相等；

“兩端都不栽”：棵數比間隔數少1。

“封閉型的植樹問題”我們採用轉化思想，把“封閉型的植樹問題”轉化成剛剛探究的“直線型的植樹問題”，也就是把未知的知識轉換成已知的知識去探討。

沿紅點把線拉直，這樣轉化成“一端栽一端不栽”的模型。

要注意，孩子雖然解決了這一問題，但並不代表能夠靈活運用。西西老師在教學過程中，很多孩子可以把植樹問題做出來，但是無法把植樹問題的解決方法與生活中相似的現象進行知識連結，反映出孩子只是在“機械應用”，思維的靈活性不夠。

接下來需要透過題目鞏固剛剛學過的模型，讓孩子自己探究其中的規律。

關卡1：

99路公交車行駛路線全長16km，相鄰兩站之間的距離為2km，一共需要設多少個站點？

本題屬於“兩端都栽”的情況，因此站點數（棵樹）=16÷2+1=9（個）

關卡2：

小丁丁家住6樓，需要爬樓梯，每爬一層需要30秒。照這樣計算，小丁丁回到家需要多少秒？

本題屬於“一端栽一端不栽”的情況，一樓不需要爬，只需要爬5樓，所以一共需要5×30=150（秒）

關卡3：

爸爸把一根圓木鋸成4段，需要12分鐘。照這樣計算，如果鋸成7段，需要多長時間？

本題屬於“一端栽一端不栽”的情況，鋸成4段，只需要鋸3次，每次需要12÷3=4（分）。鋸成7段，需要鋸6次，一共需要4×6=24（分）

要注意，孩子在分析題目的過程中，需要先明確題目屬於哪個模型，“直線型”還是“封閉型”，如果是“直線型”，那麼具體是哪一種呢？然後再結合相對應的模型及其規律完成題目。

04“植樹問題”中滲透的主要數學思想方法有哪些呢？

1.模型思想

“植樹問題”是生活中事件的概括，它源於現實，又高於生活，在現實中有著廣泛的應用。向孩子滲透模型思想，可鍛鍊其推理、歸納、總結的能力。文中透過建立模型，孩子探究出“兩頭都栽”的規律，從而運用在相關模型的題目中。

2.一一對應

每個間隔都對應1棵樹，樹的數量和間隔數是一一對應的，從而得出棵數與間隔數的關係。

3.化繁為簡

先從兩個樹到三個樹，逐漸增加，讓孩子經歷感知規律、猜測規律、驗證規律、應用規律的過程，其實就是把複雜的問題轉化成簡單的問題。

4.數形結合

數形結合是數學解題中常用的思想方法，它能使某些抽象的數學問題直觀化、生動化，能夠變抽象思維為形象思維，有助於把握數學問題的本質。透過畫線段圖以及標數字的方法將數與形有機結合，棵數和間隔數之間的關係便一目瞭然，問題自然迎刃而解。在發現規律後，孩子動手畫線段圖驗證規律，更是加深了孩子對植樹問題“兩端都栽”地理解。

5.轉化思想

發掘出問題中最本質的核心和原型後，把新問題轉化成已經解決的問題。文中把“封閉型的植樹問題”轉化成探究過的“直線型的植樹問題”，幫助孩子理解。

“找規律”型別的題目需要孩子充分運用自己的創新意識，發展合情合理的推理能力，進行有條理的思考，在此基礎上歸納得到猜想和規律。我們家長平時在給孩子講解過程中要注意遵循“目標要小”，“模組要劃分”，“舊模組沒有解決不要出現新模組”等原則，讓孩子把知識點真正“吃透”。