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函式y=(x^2+4)√(x^2+1)的主要性質

函式y=(x^2+4)√(x^2+1)的主要性質

主要內容:

本文介紹函式y=(x^2+4)√(x^2+1)的定義域、單調性、凸凹性、奇偶性及極限等性質,並透過導數知識計算函式的單調和凸凹區間。

函式y=(x^2+4)√(x^2+1)的主要性質

※.函式的定義域

函式y=(x^2+4)√(x^2+1)為二次函式的乘積,根據函式的特徵,函式自變數x可以取全體實數,即函式的定義域為:(-∞,+∞).

※.函式的單調性

∵ y=(x^2+4)√(x^2+1)

∴ y'=2x√(x^2+1)+(x^2+4)*x/√(x^2+1)

=[2x(x^2+1)+(x^2+4)*x]/√(x^2+1)

=3x(x^2+2)/√(x^2+1)

令 y'=0,則x=0 。即:

(1).當x∈(-∞,0)時, y'<0,此時函式y為減函式,區間為減區間。

(2).當x∈[0,+∞)時, y'≥0,此時函式y為增函式,區間為增區間。

函式y=(x^2+4)√(x^2+1)的主要性質

※.函式的凸凹性

∵y'=3x(x^2+2)/√(x^2+1)

=3(x^3+2x)/√(x^2+1)

∴y〞=3[(3x^2+2)√(x^2+1)-(x^3+2x)x/√(x^2+1)]/(x^2+1),

=3[(3x^2+2)(x^2+1)-(x^3+2x)x]/√(x^2+1)^2,

=3(2x^4+3x^2+2)/√(x^2+1)^2>0,

則函式在定義區間上為凹函式。

※.函式的極限與極值

lim(x→-∞)(x^2+4)√(x^2+1)=+∞,

lim(x→+∞)(x^2+4)√(x^2+1)=+∞,

lim(x→0)(x^2+4)√(x^2+1)=ymin.

※.函式的奇偶性

∵f(x)=(x^2+4)√(x^2+1)

∴f(-x)=[(-x)^2+4]√[(-x)^2+1]

=(x^2+4)√(x^2+1),

即f(-x)=f(x),則函式在定義域上為偶函式,

函式y=(x^2+4)√(x^2+1)影象關於y軸對稱。

函式y=(x^2+4)√(x^2+1)的主要性質

分類: 旅遊
時間: 2022-02-06

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