摘要：正三角形中心繞垂直所在平面的對稱軸轉動，並沿著圓周移動。完成一個圓周移動後，轉動角是120度的整數倍，與起始位形重合，形成一個Mobius環狀體。利用這個扭轉體引數形式的座標表示，利用定義進行積分計算，得到了扭轉體對3個座標軸的轉動慣量。
關鍵詞： Mobius環狀體 力學教學研究 正三角形 轉動慣量
有趣物體轉動慣量的計算，是力學教學研究的一個關注點。文獻[1]討論了勻質旋轉面體對旋轉軸的轉動慣量，文獻[2]討論了勻質圓環胚體的轉動慣量，文獻[3]討論了對稱相交圓柱，特別是牟合方蓋的轉動慣量。圓環胚體可以看作一個圓沿著另一個圓周平行移動而來。除了圓，正多邊形也能形成這種環狀體。正多邊形中心在圓環上移動一週後，沿著垂直多邊形所在平面且透過中心的軸轉過的角度正好是正多邊形中心夾角2π/N的整數倍L，L也稱為扭轉數。這樣移動一週後的正多邊形與原來的能重合起來，扭轉體形成一個Mobius環狀體(扭轉體)。扭轉數為2的正三角形Mobius環狀體如圖1所示。圖1扭轉數為2的正三角形Mobius環狀體對於這樣複雜的剛體，文獻[2]所用的質量投影法就很難應用了，必須用原始基礎的定義，直接積分計算。
為簡單起見，考慮一個正三角形中心在圓周上移動一週，同時扭轉形成扭轉體。設起始時候正三角形在xz平面上。中心座標是(b，0，0)，其中b是圓周的半徑。正三角形三個頂點座標是：
，其中a是正三角形外接圓半徑。扭轉體是這樣形成的:三角形首先繞著z軸轉動φ角度，然後以轉動後的中心(bcosφ，bsinφ，0)為參考點，沿著(－sinφ，cosφ，0)方向轉動λφ角度，λ=L/3稱為扭轉引數。經過這兩個轉動操作，正三角形三個頂點座標轉化為：
由式(11)可以看出，轉動慣量Iz與扭轉數L無關。當正多邊形的邊數N趨向無窮大時，即趨向於一個半徑為a的圓，Mobius環狀體的極限就是文獻[2]中的圓環胚剛體，式(11)的極限與文獻[2]的結果一致。
這樣，我們給出Mobius環狀體引數形式的直角座標表示，以及引數空間中的體積元。由定義，直接積分計算了Mobius環狀體相對座標軸的轉動慣量。轉動慣量Iz與扭轉數無關。我們也給出了基於正多邊形Mobius環狀體轉動慣 量的表示式。當正多邊形的邊數趨向無窮時，這個表示式的極限與圓環胚剛體一致，並給出了文獻[2]中圓環胚剛體沒有計算的相對x和y軸的轉動慣量。有條件的學校可以3D打印出這種Mobius環狀體，實際測量轉動慣量，驗證本文的猜測。
