數學包括對數字（算術和數論）、公式和相關結構（代數）、形狀和包含它們的空間（幾何）、和量及其變化（微積分和分析）等主題的研究。

大多數數學活動包括髮現和證明（透過純推理）抽象物件的性質。這些物件要麼是來自自然的抽象（如自然數或“線”），要麼是其基本屬性定義的抽象實體，稱為公理。一個證明由一些演繹規則對已知結果的一系列應用組成，包括先前證明的定理、公理和一些基本屬性。證明的結果叫作定理。與物理定律相反，一個定理的有效性並不依賴於任何實驗，而是依賴於其推理的正確性。

數學在科學中被廣泛地用於對現象進行建模。例如，利用牛頓萬有引力定律結合數學計算，可以高精度地預測行星的運動。數學真理獨立於任何實驗意味著這種預測的準確性只取決於描述現實的模型是否足夠。因此，當一些不準確的預測出現時，這意味著模型必須改進或改變，而不是數學是錯誤的。例如，水星的近日點進動不能用牛頓的萬有引力定律來解釋，但愛因斯坦的廣義相對論卻能準確地解釋。這個對愛因斯坦理論的實驗驗證表明，牛頓的萬有引力定律只是一個近似值。

數學在許多領域都是必不可少的，包括自然科學、工程、醫學、金融、計算機科學和社會科學。數學的一些領域，如統計學和博弈論，是在與它們的應用直接相關的情況下發展起來的，通常被歸為應用數學。其他數學領域是獨立於任何應用而發展的（因此被稱為純數學），但實際應用往往是後來發現的。一個典型的例子是整數因子分解問題，它可以追溯到歐幾里得，但在RSA密碼系統中使用之前沒有實際應用。

早在有文字記錄的時候，數學就已經是人類的活動了。然而，“證明”及其相關的“數學嚴密性”的概念首先出現在希臘數學中，最著名的是歐幾里得的《幾何原本》。

數學領域‍‍

在文藝復興之前，數學被分為兩個主要領域，算術（致力於處理數字），和幾何學（致力於研究形狀）。在文藝復興時期前後，出現了兩個新的主要領域：代數和微積分。數學符號的引入產生了代數，代數包括對公式的研究和運算。微積分是一門研究連續函式的學科，它模擬了不同量（變數）的變化以及它們之間的關係。

數論‍

數論開始於對數字的運算，即自然數，後來擴充套件到整數和有理數。數論以前被稱為算術，但現在這個術語主要用於與數字有關的計算方法。

數論的一個特點是，許多可以簡單表述的問題，證明起來是非常困難的，需要來自數學各個部分的非常複雜的方法來解決。一個典型的例子是費馬大定理，它於1637年由皮埃爾·德·費馬提出，直到1994年才由安德魯·懷爾斯用代數幾何、範疇理論和同調代數等工具證明。另一個例子是哥德巴赫猜想，它聲稱每個大於2的偶數是兩個素數的和。它於1742年由克里斯蒂安·哥德巴赫提出，到現在仍未得到證實。

鑑於所研究的問題和求解方法的多樣性，數論目前分為幾個子領域，包括解析數論、代數數論、數的幾何（面向方法）、丟番圖方程和超越理論（面向問題）。

幾何‍

幾何和算術一起是數學最古老的分支之一。它主要是為了測量和建築的需要而開發的。

一個根本性的創新是古希臘人對證明的闡述：僅僅透過測量來驗證，比如說，兩個長度相等是不夠的。這種性質必須透過抽象推理來證明，這些抽象推理來自先前證明的結果（定理）和基本性質（被認為是不言而喻的，因為它們太基本了，不能成為證明的主體假設）。這一原理是所有數學的基礎，是為了幾何學而詳細闡述的，並在公元前300年由歐幾里得的《幾何原本》一書中系統化。

直到17世紀，歐幾里得幾何的方法和範圍都沒有改變，直到笛卡爾引入了現在所說的笛卡爾座標。這是一個主要的正規化變化，因為它不把實數定義為線段的長度，它允許用數字（座標）來表示點，並使用代數和後來的微積分來解決幾何問題。這將幾何學分為兩部分，它們的不同之處在於它們的方法，綜合幾何使用純幾何方法，解析幾何系統地使用座標。

解析幾何允許研究新的形狀，特別是與圓和線無關的曲線；這些曲線要麼被定義為函式圖（微分幾何），要麼被定義為隱式方程，通常是多項式方程（代數幾何）。解析幾何使得考慮高於三個維度的空間成為可能，這不再是物理空間的模型。

在19世紀，幾何學迅速發展。一個重大事件是（在19世紀下半葉）發現了非歐幾里得幾何學，也就是放棄了平行公設的幾何學。這也是數學基礎危機的起點之一，因為它對上述定理的真實性提出了質疑。這方面的危機是透過公理方法的系統化來解決的，並且採用所選公理的真理性不是一個數學問題。反過來，公理方法允許透過改變公理或考慮在空間的特定變換下不變的屬性來研究各種幾何。這導致了幾何學的許多子領域的誕生，包括：

• 射影幾何，它是在16世紀引入的，透過在無窮遠處增加平行線相交的點來擴充套件歐幾里得幾何。透過避免對相交和平行線進行不同的處理，這簡化了古典幾何的許多方面。
• 仿射幾何，研究與平行度相關且獨立於長度概念的幾何。
• 微分幾何，研究曲線、曲面及其推廣，用可微函式來定義。
• 流形，具有歐幾里得空間性質的空間，在數學中用於描述幾何形體。
• 黎曼幾何，彎曲空間中距離性質的研究。
• 代數幾何，對曲線、曲面及其推廣的研究，用多項式來定義。
• 拓撲學，研究在連續變形下保持不變的特性。
• 代數拓撲學，在拓撲學中使用的代數方法，主要是同調代數。
• 離散幾何，研究幾何中有限構型的學科。
• 凸幾何，對凸集的研究，其重要性在於它在最佳化中的應用。
• 複數幾何學，用複數代替實數得到的幾何學。

代數

代數可以看作是一門運算方程式和公式的藝術。丟番圖和花拉米子是代數的兩個主要先驅。丟番圖透過推導新的關係，求出未知自然數之間的一些關係，直至得到解。花拉米子介紹了方程變換的系統方法（比如將一項從方程的一邊移到另一邊）。

直到弗朗索瓦·韋達，代數才開始成為一個特定的領域，他引入了字母（變數）來表示未知數字。在19世紀，變數開始表示數字以外的東西（如矩陣、模整數和幾何變換），這是算術運算的推廣。後面又引入了代數結構的概念，代數結構由一個非空集合、作用於集合元素的運算以及這些運算必須遵循的規則組成。因此，代數的研究本質上變成了代數結構的研究。

一些型別的代數結構具有在許多數學領域中有用的、而且往往是基本的屬性。它們的研究如今是代數的自主部分，其中包括：

• 群理論；
• 場理論;
• 向量空間，其研究本質上與線性代數相同；
• 環論；
• 交換代數是對交換環的研究，包括對多項式的研究，是代數幾何的基本部分；
• 同調代數；
• 李代數與李群理論
• 布林代數，廣泛用於研究計算機的邏輯結構。

微積分和分析

微積分是由牛頓和萊布尼茨在17世紀分別引入的。它研究兩個變化量之間的關係，其中一個依賴於另一個。微積分在18世紀被尤拉大力發展，引入了函式等概念。目前，“微積分”主要指該理論的初等部分，“分析”通常用於該理論的高階部分。

分析進一步細分為實分析和複分析。目前有許多分析的子領域，它們包括：

• 多變數微積分；
• 泛函分析，變數是函式；
• 積分理論、測度理論和勢能理論，都與機率論密切相關；
• 常微分方程；
• 偏微分方程；
• 數值分析。

離散數學

離散數學是研究離散的而不是連續的數學結構。與實數具有“平滑地”變化的特性相比，離散數學中研究的物件並不以這種方式平滑地變化，而是具有不同的、分開的值。因此，離散數學排除了諸如微積分或歐幾里得幾何等“連續數學”中的主題。離散物件通常可以用整數列舉。然而，“離散數學”這個術語並沒有確切的定義。事實上，描述離散數學的方法，與其說是包含什麼，不如說是排除什麼：連續變化的量和與之相關的概念。

數學邏輯和集合理論

自19世紀末以來，這些學科都屬於數學。在此之前，集合不被認為是數學物件，邏輯雖然用於數學證明，但屬於哲學，並不是數學家專門研究的。

在康托爾研究無限集之前，數學家們不願意考慮無限集合，而認為無限是無窮列舉的結果。康託的工作得罪了許多數學家，不僅因為他考慮了無限集合，而且還因為他的研究表明無限有不同的大小，並且允許無法計算，甚至無法明確描述的數學物件的存在。

在同一時期，在數學的各個領域都出現了這樣的情況：以前對基本數學物件的直觀定義不足以保證數學的嚴謹性。這類直觀定義的例子有："集合是物件的集合"，"自然數是用來計數的"，"點是一個在各個方向上長度為零的形狀"，"曲線是一個移動的點留下的痕跡"，等等。

這是數學危機的起源。粗略地說，每個數學物件都是由所有類似物件的集合和這些物件必須具備的屬性來定義的。例如，在皮亞諾算術中，自然數是由 "零是一個數"、"每個數都是唯一的後繼者"、"除零以外的每個數都有唯一的後繼者 "以及一些推理規則來定義的。以這種方式定義的物件的 "性質 "是數學家留給哲學家的一個哲學問題，即使許多數學家對這種性質有意見，並使用他們的意見（有時稱為 "直覺"）來指導他們的研究和尋找證明。

這種方法允許將“邏輯”作為數學物件，並證明關於它們的定理。例如，哥德爾的不完備定理斷言，粗略地說，在每一個包含自然數的理論中，有一些定理是正確的（在一個更大的理論中是可證明的），但在理論內部是不可證明的。

這些問題和爭論導致了數學邏輯的廣泛擴充套件，包括模型理論（在其他理論中建模一些邏輯理論）、證明理論、型別理論、可計算理論和計算複雜性理論等子領域。數學邏輯的這些方面在計算機出現之前就已經被引入了。

應用數學

應用數學涉及數學方法，通常用於科學，工程，商業和工業。因此，“應用數學”是一門具有專門知識的數學科學。應用數學這個術語也描述了數學家研究實際問題的專業特長。應用數學是一門專注於實際問題的專業，側重於在科學、工程和其他領域的數學實踐中“建立、研究和使用數學模型”。

在過去，實際應用推動了數學理論的發展，這後來成為純數學的研究主題。因此，應用數學的活動與純數學的研究是息息相關的。

統計學和其他決策科學

應用數學與統計學有很大的重疊，統計學的理論是用數學表達的，尤其是機率論。統計人員用隨機抽樣和隨機實驗“建立有意義的資料”；統計樣本或實驗的設計規定了資料的分析。

統計理論研究決策問題，如最小化一個統計行動的風險，如在引數估計、假設檢驗和選擇最好的過程中使用一個程式。在數學統計的這些傳統領域中，統計決策問題是透過在特定的約束條件下最小化一個目標函式，如預期損失或成本。

計算數學

計算數學提出和研究解決數學問題的方法。數值分析用泛函分析和近似理論研究分析問題的方法。數值分析廣泛地包括近似和離散化的研究，特別關注舍入誤差。數值分析和更廣泛的科學計算也研究數學科學的非解析性主題，特別是演算法，矩陣和圖理論。計算數學的其他領域包括計算機代數和符號計算。