洛倫茲提出的 “蝴蝶效應” 形象地描繪了混沌的本質 | 圖源：pixabaycom
編者按
“南美洲的一隻蝴蝶扇動翅膀，可能引發得克薩斯州的一場龍捲風。”
這一著名的蝴蝶效應，出自美國氣象學家愛德華·洛倫茲1963年提出的混沌理論（Chaos theory）。混沌理論是一種兼具質性思考與量化分析的方法，解釋了確定性系統可能產生隨機性結果，是繼相對論和量子力學問世以來20世紀物理學的第三次革命，在科技領域甚至人文學科的研究中起到了重大作用。
1987年，一部傳世的英文報告文學作品Chaos: Making a New Science 問世，作者詹姆斯·格雷克（James Gleick）是美國最偉大的科普暢銷書作家之一，他在書中記錄了混沌現象的研究歷程，描繪了混沌領域近百位數學家和自然科學家探索未知世界的傳奇經歷。1990年，上海譯文出版社出版了該書的中文譯本《混沌：開創新科學》，將混沌的故事正式帶入國門。2021年9月，人民郵電出版社出版了該書的最新版本。
本文作者丁玖為南密西西比大學數學系教授，他早年讀了兩遍該書的英文初版，最近又讀了一遍中譯本。在他看來，一本好書，一部好的報告文學，可以講述動人的故事，可以激勵有志的讀者。
2021年，丁玖教授出版了《走出混沌：我與李天巖的數學情緣》一書。本書以作者與李天巖教授從相識到入門直至李天巖於2020年去世為止三十多年的交往為主線，介紹了李天巖的傑出數學成就，讓讀者近距離地感受到李天巖教授的數學思想、育人之道和人格魅力。
今天，丁玖教授向《賽先生》的讀者朋友們介紹《混沌》這部優秀的報告文學，並講述了書中的一部小插曲：在寫《週期三則意味著混沌》這一故事時，作者 “漏掉” 了在證明該定理的過程中充當關鍵角色的著名華人數學家李天巖。
撰文 | 丁玖（南密西西比大學）
責編 | 王雨丹
在我考進大學的前夕，1978年2月17日，《人民日報》轉載了前一天《光明日報》刊登的《哥德巴赫猜想》*。從此，一位傳奇數學家的名字響徹在大江南北、長城內外。
我是1978年2月16日從首發此文的一本文學期刊上讀到它的。我還記得在工廠的辦公室裡一口氣讀完全文時，被作者激盪人心的優美文字所感染的情景。19歲的我，在那天的日記中感慨地寫道：“下午，看《人民文學》七八年第一期，徐遲的報告文學《哥德巴赫猜想》像磁鐵般吸引我目不轉睛地看下去。驚訝、讚歎、憐憫、羨慕…… 這不像是描寫人類的一分子，像傳奇式小說，但這是活生生的一個人，現實世界中的一個人，馳名中外的數學家陳景潤！” 在日記的最後，我頗具雄心地鞭策自己：“我要在今後的學習中以陳景潤為鏡子，刻苦鑽研，一定要在數學上創造出成績來。”
* 編者注：
哥德巴赫猜想（Goldbach's conjecture）於1742年提出，是數論中存在最久的未解問題之一，內容為：“任一大於2的偶數，都可表示成兩個素數之和。” 本文所述《哥德巴赫猜想》是中國當代作家徐遲的報告文學作品，描寫了陳景潤的身世和在文化大革命期間的困難條件下證明 “陳氏定理” 的過程，陳氏定理包含了迄今為止世界上有關哥德巴赫猜想證明的最好成果。
在那個時代，一篇傳世的報告文學，激勵了多少像我這樣的年輕人。這就是文字的力量，當然更是英雄人物的力量。
十年後，一部傳世的英文報告文學作品在美國誕生：Chaos: Making a New Science。此書生動形象地描繪了混沌學科歷史發展中扮演著關鍵角色的那些數學家和自然科學家探索未知世界的傳奇和經歷。它也寫了數學家，但其寫作風格和主題綱要與風靡中國的《哥德巴赫猜想》不太一樣。
它並不只寫了一兩位數學家（須知在現代西方世界，沒有哪一個數學家能像陳景潤或華羅庚那樣家喻戶曉，成為民族的殊榮、時代的符號、人民的典範），而是描繪了一批數學家和科學家。它不是一篇佔據報紙幾個版面的長文，而是一本有350頁的大書。它寫的不是一個極其困難但孤芳自賞的世界級數學猜想，而是一個欣欣向榮充滿活力的新興科學領域，一個被視為二十世紀可以與相對論和量子力學並肩站立的偉大發現：混沌理論。它沒有著墨於歌頌所寫人物的 “逆境拼搏” “忘我精神” 或 “大公無私”，而是將他們的優勢劣項一併拿來，還原人性。
圖1 Chaos: Making a New Science 英文原版書籍 | 作者供圖
Chaos: Making a New Science 初版於1987年，作者是《紐約時報》的記者和編輯 詹姆斯·格雷克（James Gleick）。它的中文譯本《混沌：開創新科學》1990年由上海譯文出版社出版（以下簡稱 《混沌》），譯者張淑譽和她的先生校者郝柏林均為50年代的留蘇研究生。已故的郝院士是國內最早從事混沌研究的物理學家之一，他在1984年就編輯過一本名為Chaos的英文書，將混沌史上最有名的原始文獻收錄在內（和Gleick的不是同一本書）。次年6月，他還邀請了首次回祖國訪問的李天巖教授演講 “混沌”。這本Chaos和他的名字，以及他對 “混沌” 的概括性描述也出現在Gleick的書中。
圖2 Chaos: Making a New Science 的中文譯本《混沌：開創新科學》| 作者供圖
1954年出生的Gleick以一紙 “英文與語言學” 的本科學士文憑畢業於哈佛學院，這所注重通識教育和文理修養全面發展的美國大學使得他成長為科學人文寫作的高手。作為出道後的這第一本著作，Chaos使他旗開得勝，一鳴驚人。這本書和他後來寫的費曼傳記Genius: The Life and Science of Richard Feynman（《費曼傳》，高等教育出版社2004年引進）及牛頓傳記《牛頓：科學天才的浮生一夢》（人民郵電出版社2021年10月引進）分別於1988、1993及2004年入圍極具名望的普利策獎最後一輪選拔，並且前兩部也是美國國家圖書獎的最終競爭者。
圖3書中對於Gleick的簡介 | 作者供圖
20世紀90年代，當我讀到Gleick的Chaos原版時，馬上就像1978年初讀《哥德巴赫猜想》那樣深陷進去，在教書之餘一週內讀完了，感覺收穫頗多。但這個收穫並非是專業性的，而是歷史性的，因為它是一本面向大眾的普及讀物。專業人士可以從歷史事件中梳理出混沌的本質，普通民眾則能從故事描述中領略到混沌的美妙。正如作者在書末所云，在描繪科學家參與的事件、動因和展望時，他儘可能地避免採用技術性的語言。
比如說，雖然書名是 “混沌”，卻幾乎沒有關於數學術語 “混沌” 的正式定義或精確刻畫，儘管書中有不少篇幅講了該術語首次提出者之一約克的許多故事。整本書中除了展示了最著名的那個帶引數“邏輯斯蒂函式（Logistic函式）” 的二次多項式 rx(1-x) 外，幾乎看不到一個數學表示式。這與霍金膾炙人口的科普大作《時間簡史》一樣：據說霍金寫完的初稿曾被他的編輯 “打回冷宮”，因為編輯堅信 “書中多一個公式就會少去一半的讀者”。受此理念指導下完成的《時間簡史》，儘管還是放進了一個公式（愛因斯坦的質能等式），卻成了天下最暢銷的科普書籍之一。《混沌》作者採取了霍金的辦法，用他極會渲染氣氛和描繪情景的那支筆，為普通讀者寫出了混沌領域由初創到發展三十年間（60到80年代）的 “故事新編”。
為了讓廣大民眾充分了解這段混沌概念發展史，Gleick以盡職科學記者的良心全力獲取第一手材料，可謂精心準備，煞費苦心。他在書末的 Notes on Sources and Further Reading（資料來源及延伸閱讀）中坦言，書中借鑑了大約兩百個科學家在公眾演講、技術寫作以及採訪對話中發表的言論，並表示從1982年4月到1984年12月期間他採訪了其中的許多人。書中被引述的人只列出了姓，但他將他們的全名放在書末列表，總共有96位之多。
有了透過閱讀文獻及採訪人物獲得的充足材料和生動故事，Gleick發揮了他高超的寫作技能，將混沌的故事寫得妙趣橫生、高潮迭起、引人入勝。
書的第一章《序曲》，介紹了一個名叫費根鮑姆（Feigenbaum，1944-2019）的30歲紐約籍男人，這位每天工作 “26小時” 的物理學家正在創造歷史，他不停思維的大腦和擺弄計算器的雙手正在挖掘展示自然界規律的那個 “普適常數”。
接著，第二章的《蝴蝶效應》介紹了 “混沌之父” 洛倫茲（Edward Norton Lorenz，1917-2008）。這位從小愛看氣溫表的麻省理工學院氣象學教授，恰好於六十年前的冬日（1961年），在喝了咖啡後回到計算機螢幕前的片刻，無意中發現長期天氣預報的不可能性。這項發現，被Gleick畫龍點睛地稱為 “播下了一門新科學的種子”。正是Gleick的這本大眾圖書，將洛倫茲在1979年美國科學促進會上發言中首次提出形象描繪混沌本質的 “蝴蝶效應” 帶進了千家萬戶。
圖4 “混沌之父” 洛倫茲
然後，一系列數學家、生物學家、物理學家等 “大家” 在書中紛紛登臺亮相，上演了一出波瀾壯闊的混沌大戲。
菲爾茲獎獲得者斯梅爾（Stephen Smale，1930-），上世紀60年代初從他駕輕就熟的拓撲學領域澆灌出動力系統的鮮花，構造出舉世聞名的 “馬蹄鐵” 對映；
出身理論物理的生物學家梅（Robert May，1936-2020），從種群生態學中最簡單的非線性模型中發現了極其複雜的動力學行為；
氣象學家洛倫茲的四篇論文，催生出數學家約克和他當年高足（博士研究生李天巖）傑作 Period Three Implies Chaos（週期三則意味著混沌）的初稿。而生物學家梅對馬里蘭大學的來訪演講，最終導致李-約克徒師二人將已束之高閣一年之久的文章修改定稿，使得這篇僅僅八頁的短文在全世界讀者人數最多的數學雜誌《美國數學月刊》（American Mathematical Monthly）上發表。三十二年後的2007年，它被普林斯頓高等研究院的物理學家戴森在其愛因斯坦講座演講稿Birds and Frogs（《鳥與蛙》）中稱為 “數學文獻中不朽的珍品”；
接著，《序曲》中出現的費根鮑姆用他的普適常數征服了科學界。同時，一個逃離布林巴基學派統治而投身於美國IBM研究中心的法國 “雜學家” 曼德博（Benoît B. Mandelbrot，1924-2010）創造了一個新詞Fractal（分形學），在他眼裡比歐幾里得幾何更自然描繪自然界現象的分形幾何從此正式粉墨登場…… 這些只是書中眾多精彩紛呈的混沌故事中的幾個片段，當然也是至關重要的幾個。
當我讀到第77頁中描述的 “混沌電影” 時，頓時眼睛一亮。電影的製作者弗蘭克·霍彭斯特德（Frank Hoppensteadt，1938-）是我在密歇根州立大學數學系讀書時的理學院院長，也是我博士論文答辯的委員會成員。對於 “邏輯斯蒂函式” rx(1-x)，他取了成千個引數值r，在計算機上迭代了幾億次，計算機螢幕畫出了對應於每個引數值的函式迭代軌跡，而透過電影的視覺效果呈現出一派光怪陸離的圖景。霍彭斯特德院長在數學系放映了他精心製作的這部科學影片，藝術性地展示了 “從有序到混沌” 的數學之旅，令觀眾大開眼界，飽覽 “混沌”。在場觀賞的觀眾不僅有他的知音同事李天巖教授，還有李教授的博士生（包括我）。
2008年，《混沌》作者推出了該暢銷書的第二版。某天，我在閒逛美國 “百萬書店” 時從新版序言中讀知，第一版問世後的二十年間，這本書在全世界賣出了一百萬冊，也即平均每年五萬本。
我不知道這個數字是否包括了所有外國語譯本的銷售量，因為Gleick的所有作品大概被翻譯成了三十種語言。但是我憑直覺猜測，非英語版本的銷售量不在其中，至少此數很難精確算出。不管怎麼說，這是一個驚人的記錄。這得益於該書的內容通俗性和語言優美性等優點所帶來的的廣泛可讀性。英文原版的封底印有三位著名作家的 “極簡書評”，我只引用其中一人的，因為他是名著 Gödel, Escher and Bach（中文譯本《哥德爾、埃舍爾、巴赫：集異璧之大成》）的作者 Douglas Hofstadter（中文名侯世達）。他說：Gleick’s Chaos is not only enthralling and precise, but full of beautifully strange and strangely beautiful ideas（Gleick的《混沌》不僅令人著迷和精確，而且充滿了奇異和美麗的想法）。
我基本贊同上述評價，然而對於 “精確” 一詞難以百分之百地認同。因為這本書關於李天巖與約克合作論文《週期三則意味著混沌》的出籠經過，敘述得 “不甚精確”。整本書只談論了約克教授在混沌發展史上的作用，尤其在傳播洛倫茲革命性思想方面以及他自己在形成 “週期三隱含混沌” 這個猜想時所充當的關鍵角色，而對李天巖的重要貢獻隻字未提，只是在書末的註釋部分（第326頁），給出了正文第69頁中被提及的這篇論文的出處：Yorke’s paper. Written with his student Tien-Yien Li. “Period Three Implies Chaos,’’ American Mathematical Monthly 82(1975), pp. 985-92. 僅此而已，這是全書中唯一出現李天巖英文名字的地方，包括有十頁篇幅的Index（索引）部分。
一週前，我在家裡翻出二十年前我的博士論文導師李天巖教授寄給我的一篇英文文章，列印日期為1999年12月31日，貼在首頁的小紙片上寫有 “丁玖，請看這篇文章的下半部（Chaos => Statistical Regularity）. 天巖 12/28”。文章的標題是 Exploring Chaos on an Interval（在區間上探索混沌）, 作者是T. Y. Li and James A. Yorke，即李天巖和詹姆斯·約克。此文收在2001年由新加坡世界科學出版社出版的一本論文集中，主題是關於早期混沌理論的回憶。這本書的編者是美國的拉爾夫·亞伯拉罕（Ralph Abraham，1936-）和日本的上田睆亮（Yoshisuke Ueda，1936-），他們都是混沌史上的名人，在Gleick的書中也都有介紹。
圖5 李天巖教授寄給作者的英文文章 | 作者供圖
李天巖教授和約克教授的文章上半部回顧了《週期三則意味著混沌》的寫作過程。1972年，馬里蘭大學數學系教授約克也是該校流體力學與應用數學研究所的成員。一位流體動力學家同事艾倫·法勒（Alan Faller，1929-）教授，影印了許多份洛倫茲關於氣象預報的四篇論文，給了他認為會感興趣的人，其中就包括約克。約克和他的博士生李天巖讀後，確實很感興趣，尤其是洛倫茲微分方程組中第三個解函式z(t)的振動行為不規則性，以及它相鄰區域性極大值之間的函式依賴關係，這個關係本質上與分段線性的帳篷函式相像。
為了解釋洛倫茲獲得的這個關係，他們發現了後來被稱為 “李-約克定理” 的重要結果：週期三隱含混沌，這是在1973年3到4月完成的開創性工作。在經過一系列的戲劇性事件後，他們的文章發表在《美國數學月刊》1975年的最後一期上。這 “一系列” 的情節除了一句籠統的話 “約克於是為自己覺得可以投稿的傳播最廣的雜誌《美國數學月刊》寫了一篇文章” 外，沒有出現在Gleick的書中，而詳細而真實的故事被我寫進了2013年由高等教育出版社出版的拙作《智者的困惑：混沌分形漫談》中題為 “週期三則亂七八糟” 的一章中。
其實，李-約克的上述回憶文章並沒有明確說出他們一生中最偉大工作的降生細節。這並不奇怪，只要他們都將之歸功於兩人的珠聯璧合就行了。科學史中為己搶功貶低對方的合作者有一些，但更多的學者道德高尚，不為名利而降低人格。一個例子就含蓄地出現在Gleick的書中：比利時籍的法國數學物理學家達維德·呂埃勒（David Ruelle，1935-）和他來自荷蘭的訪問教授弗洛里斯·塔肯斯（Floris Takens，1940-2010）合寫了一篇影響深遠的文章 On the Nature of Turbulence（湍流的本質）。但是作者提到他們的文章時總是正確地寫出兩人的名字或者用 “他們” 這個代詞，而不是將其中年輕五歲的訪問者只放進書末的註釋部分。
二十世紀最偉大的數學合作當屬於英國的阿蒂亞和美國的辛格。他們共同孵化出的連線拓撲和分析兩大數學分支的 “指標定理”，來自後者對前者的一次學術假訪問。到訪第一天，阿蒂亞劈頭就問辛格一句 “為什麼自旋流形的A-虧格是個整數？” 基於對這個 “有深層原因” 的拓撲學問題的共同深入思考，引導分析功底雄厚的辛格在兩個月內證明出了關於橢圓型微分運算元的指標定理。二人因此而分享了2004年的阿貝爾獎。
李-約克定理的誕生也是類似的故事。1973年3月的一個星期五下午，當李天巖走進他的博士論文導師約克的辦公室，正因什麼煩惱而 “訴苦” 之際，約克劈頭就來一句 “我給你一個好想法”。這個想法就是後來他們定理中關於週期三的那兩個結論，這是約克從洛倫茲文章裡獲得的靈感，但他卻沒有證明他的數學猜想。於是他請分析功底紮實的弟子試試證實（或證否）它。
李天巖花了兩週的時間巧妙地運用了微積分裡的 “介值定理” 證明它為真。至於Gleick書中提到的約克將寫好的文章投給以大學生為主要讀者的《美國數學月刊》，或許也是由於李天巖聽到導師的 “好想法” 後脫口而出的一句俏皮回答 “你的想法好到可以上《月刊》？” 所引起。如果Gleick寫書前將李天巖這位華人的名字放進他那密密麻麻寫滿人名的 “採訪名單” 中，這些生動的真實故事就會在買了一百萬冊英文版書的讀者中傳開了。
圖6（從左至右）約克-李天巖-丁玖合照（2015年）| 作者供圖
為了寫出這篇書評，在早年讀了兩遍英文初版的基礎上，我最近又讀了一遍這一版的中譯本。由於譯校者既是卓有成就的物理學家，又具有他們那個時代學者普遍具有的人文素養，我讀後總體感覺翻譯質量上乘（雖然個別地方有誤譯）。
我特別注意到，校者將原書的那句包含 “Written with his student Tien-Yien Li”（與學生李天巖合寫）的註釋，作為第74頁的腳註翻譯成 “這篇文章的合作者是李天巖”。這一小小的變形，頗耐人尋味，或許這是通曉混沌歷史的郝柏林先生試圖還原歷史真相的一個小小舉動。
去年下半年，英文第二版的中譯本由人民郵電出版社隆重推出，銷售一直看好。不過與舊的譯本比較，新譯本不僅書名添加了原版標題中的不定冠詞 “a” 所對應的 “一門”，而且將Gleick的中文姓從 “格萊克” 改為 “格雷克”。由於在出版市場同一作者中文譯名唯一性被丟失，我在本文只能一律寫成Gleick。
我在二十多年前讀完Gleick的《混沌》後，曾給李天巖教授打電話表達了我關於書中對他隻字不提的不滿情緒，李教授只回了我一句 “他從來沒有采訪過我”。但是我聽得出他的遺憾、無奈甚至悲哀。我當時想，如果哪天我寫混沌簡史，一定要還原 “週期三” 這段歷史的真實面貌，這也是出於民族自尊心的強力驅動。
2011年春，創刊不久的《數學文化》雜誌給了我這個機會，湯濤主編向我約稿，寫一篇較有篇幅的數學科普文章。我選擇了混沌分形這個主題，雜誌分三期登載了我的長文《自然的奧秘：混沌與分形》，其中我將李-約克混沌的故事細細道來。後來，我受朋友們的鼓勵，將之內容擴充一倍寫成上文提到的書。書稿的稽核人之一、混沌名家陳關榮教授將我真實記載的週期三故事稱之為 “獨家新聞”。
在祖國大地，人們一提起數學名詞 “混沌”，就會想起它的創造者之一、傑出的華人數學家李天巖先生，可以說這個詞已經成為他的化身或符號。所以在為我紀念恩師李天巖教授的新書命名時，上海科技教育出版社特別喜歡我一位好友的主標題建議：走出混沌。副標題則很具體：我與李天巖的數學情緣。在去年9月出版的這本書中，我專列一章細表了李教授的三大數學貢獻，李-約克定理自然排在首位，我用比Gleick書中多一點、但人人可以讀懂的數學語言和類比方法，幾何直觀地清楚解釋了這個 “數學文獻中不朽的珍品” 。
雖然有這樣或那樣的不足之處，科學寫作大家Gleick的報告文學《混沌》確是一部科普上乘之作。它二十五年前的第一版，已經讓混沌的思想及 “蝴蝶效應” 的通俗說法像種子一樣撒向世界各地。它不僅傳播了許多關於混沌的歷史掌故，更重要的是，它幫助人們在職業生涯甚至日常生活中碰到疑難時可以 “換個角度來思維”。畢竟，確定性和隨機性是自然世界這枚巨大硬幣的正反兩面，而混沌則是連線它們的一座橋樑。
定稿於2022年1月19日
美國哈蒂斯堡夏日山莊
致 謝
感謝陳關榮教授和田海燕教授幫助潤色本文初稿。
參考文獻：
1. 李天巖，關於“Li-Yorke混沌”的故事，數學傳播 12(3)，13-16, 1988.
2. T. Y. Li and James A. Yorke, “Exploring chaos on an interval,”in The Chaos Avant-Garda, Memories of the Early Days of Chaos Theory, Edited by Ralph Abraham and Yoshisuke Ueda, 201-208, 2001.
製版編輯 | 薑絲鴨
