幾何原理和平行假設
大約2300年前，在埃及的亞歷山大城，歐幾里得寫了《幾何原理》，這是幾何學中一系列涉及各種主題的定理和證明。 《幾何原理》的48個已被證明的定理是基於歐幾里得在開始工作時列出的5個公理、23個定義和5個常見概念。 這些定義涵蓋了理解其餘工作所需的詞彙表。 常見的概念是代數等價，如交換性(a+b=b+a)和傳遞性(如果a=b和b=c，那麼a=c)。 這5個公理是構成邏輯系統主幹的未經證明的陳述。 在這5個公理中，有4個比較直觀，
即：
- 兩點之間可以畫一條直線，
- 線段可以定義一條直線，
- 圓心和半徑可以定義圓，
- 所有的直角都是全等的，
然而，第五個也是最後一個假設稱為平行公設 就不那麼明顯了。 是最常見的說法,“如果一條直線落在兩條直線同側上的內角不到兩個直角的總和,那麼那兩條直線,如果無限期地延長,這兩條直線將在小於兩個直角和這側相交。” 在下圖中，這可以解釋為，如果α+β<180，則這兩條線將在下圖右邊相交。
有許多命題與平行公設 是等價的。 其中一個很常見的說法就是公平公理。 這個公理指出，給定一條直線l和一條不在直線上的點P，存在一條透過該點的唯一直線，與該線平行。 我們可以透過假設平行公設為真來證明這一等價性，並用它來證明公平公理，反之亦然。 根據平行公設,我們可以構造一個獨特的透過P點平行於l的直線，然後再透過P點畫一條垂直於l 的直線。這必須是獨一無二的,因為過P點的其它線其他線會形成一個角不等於90度, 根據平行公設從而將與l相交。 接下來，根據公平公理，我們可以非常類似地證明平行假設。 除了公平定理保證的那條過P 的平行線外，任何其它一條線(如圖中的綠線)的垂線一側的角度之和必須小於180度，並且一定和l相交，因為它不是一條平行線。
由於它比其他公理要複雜得多，所以最後的公設必須加以仔細研究。 在17和18世紀，數學家開始質疑這個公理的正確性，通常被稱為第五或平行公設。 在這個問題上最著名的著作之一是1733年由一個叫吉羅拉莫·薩切裡的人出版的《歐幾里得的一切》。 薩切裡用反證法證明了平行公設的矛盾。 不幸的是，他的寫作依賴於一些未闡明的假設。 薩奇裡是一位著名的邏輯學家和校對員，所以這些錯誤並不典型。 因此，人們推測薩奇裡知道自己的錯誤，也知道非歐幾里得幾何的可能性，但可能不願受到教會的譴責，因為當時教會對維持現狀的態度非常強硬，即使是在數學和科學領域。 他的著作提出了一種觀點，即平行假設為假的幾何是如何存在的。 薩奇裡構造了一個底部有兩個直角的四邊形。 對於他的反證法，他假設另外兩個角(頂角)的和不是180度。
在歐幾里得平面，三角形內角和是180度，但在非歐幾何可能是小於180度或大於180度。接下來我們說明不同的幾何空間。
雙曲幾何
薩奇裡的圖留下了兩種矛盾的可能性。 兩個頂角之和，要麼大於180，要麼小於180。 這種幾何結構是透過修改最終假設而形成的，即透過與另一條直線以外的一點，至少有兩條不同的直線與其平行。 對於這兩條不同的直線，它們之間的所有直線都是平行的，所以有無數條不同的平行線。 這是一個馬鞍形的幾何圖形(就像品客薯片一樣)，因為這允許直線以修改後的假設所規定的方式相交。 這種幾何結構叫做雙曲幾何(儘管它與圓錐截面沒有直接關係)，而幾何結構的表面叫做雙曲平面。
雙曲幾何仍然滿足前四個歐幾里得定理:兩點定義一條線段，線段定義一條線，圓由圓心和半徑定義，所有的直角相等。 這些假設的表達可能與我們預期的略有不同，就像圓和線在雙曲幾何中顯現的不同一樣。
一個對雙曲幾何非常有用的模型是彭卡萊（Poincaré）圓盤。 這是雙曲平面在單位圓上的投影。 直線被定義為與圓盤的邊正交併相交於直角的圓。 當一個人接近圓盤的邊緣時，距離會縮小，所以靠近投影中心的物體看起來比靠近邊緣的物體大。 由於距離不斷縮小，邊緣上的點可以想象為離中心無限遠的點。 我們可以證明這個模型滿足雙曲幾何的第五個假設:給定一條直線和一條不在直線上的點，我們可以畫出多條平行線，如下圖所示。
雙曲幾何中的三角形有一些有趣的性質。 和歐幾里得幾何一樣，三角形是由三個點定義的。 然而，在雙曲幾何中，角的和總是小於π，這可以透過將薩奇裡四邊形分成兩部分來推斷。 在薩奇裡四邊形中，根據定義，角的和小於2π。 因此，一個直角三角形，將四邊形分成兩部分後，其內角之和一定小於π。 下面的圖形中的三角形都是等邊的，但在曲面上的中心有7個經過點P的全等三角形，顯然三角形的內角和不是180度。
三角形也可以用無窮遠處的點或龐加萊（Poincaré）圓盤的邊緣形成。 在這種情況下，這兩條線被稱為極限平行線，因為它們從不相交，但彼此無限接近。 一個有三個理想頂點的三角形的內角和為0。 下面顯示了龐加萊圓盤（Poincaré Disk）上的一個示例。 在雙曲幾何中，三角形的面積與角度差成正比，角度差即三個內角和與π的差。 在雙曲幾何中有一個很重要的結論:單位圓的一個角為A、B、C的三角形的面積S=π - A - B - C。
因為A+B+C=π-S，所以雙曲面上的三角形內角和小於180度。
這個定理提供了一些很好的推論，包括π三角形面積的上界，π三角形有三個極限頂點。 下圖提供了一個三角形的頂點在無限位置的例子，顯然內角和小於180度。
球面幾何
回到薩奇裡四邊形，還有另一種非歐幾里得的情況，因為頂點角的和可以大於180度。 這叫做球面幾何。 顧名思義，它是球面上的幾何圖形。 既然線是兩點之間最短的距離，在球面幾何中，線就是大圓，或者說是球面和透過球面中心的平面的交點。 當歐幾里得定理得到驗證時，問題就出現了。 在一個球體上，有多條線穿過兩個對蹠點。 為了解決這個問題，球面幾何中的點通常定義為球面上的兩個對蹠點。 現在，兩個點，或者說對映點的集合，定義了一條直線。 當提到“點”時，假設引用了一組對蹠點。下圖的U,V兩點就是一組對蹠點（即直徑的對點）。
任何兩條線或大圓都必須相交。 大圓是平面與球體的交點，透過圓心。 因此，包含每一個大圓的平面必須在原點相交。 兩個平面不能相交於一點，它們必須相交於一條直線。 這條線與球面相交的地方在兩個大圓上，所以這兩條線一定相交。 球面幾何中沒有平行線。
球面幾何有一種特殊的形狀，叫做月牙。 它由兩條線組成。 這兩條線相交於一個對映點集。 我們可以透過考慮以弧度為單位的兩條線之間的角度α來計算月牙的面積。 月亮的面積是α/2π(4πr2)，因為α/2π是被覆蓋的球體的分數，而4πr2是球體的表面積。 假設是單位球時，月牙面積簡化為2α。 月牙的圖形如下：
在球面幾何中，選擇任意三個點可以形成三角形。 連線這些點的三個大圓或線構成了8個三角形; 我們可以選擇使用哪個對映點。 所以，這三個點並不是唯一的三角形。8個三角形是包括三邊出去又三個，三個頂點出去有三個，兩外三角形ABC和其相對的另一面的對等的三角形A’B’C’, 見下圖。
由上圖可以看到，從A點出發與AB和AC會形成兩個月牙，根據前面的結論，每個月牙面積在單位球中為2a, 如果我們考慮由同樣的線條組成的相對的另一個月面，它也有面積2a，那麼A點的兩個月牙面積為4a, 同理從B和C點出發的月牙面積分別是4b, 4c, (a, b, c是弧度角) 。這三個月面加在一起，覆蓋了球體加上兩個三角形ABC以及兩個三角形A ' B ' C '，（即對蹠三角形）。 如果讓三角形的面積為X，
4a + 4 b + 4 c = 4π+ 4 X，
a + b + c=X+π >π
在這個幾何中，三角形的內角和嚴格大於180度，其上限接近540度。 我們可以看到，它的上限一定是540，因為一個凸三角形不可能佔據大半個球面，所以它的面積一定小於2π。 用面積公式，a+b+c一定小於3π。
球面幾何在導航和航行中非常有用，因為我們生活在一個球體上。 它最初是由希臘人研究的，在2000多年前托勒密發現地球是圓的之後。 這種幾何學被認為是完全獨立於歐幾里得的幾何學，因此是不矛盾的。 最近，航空公司使用球面幾何來確定飛行路徑，因為穿過大圓的路徑最短，效率最高。 這就是為什麼從舊金山到迪拜要飛越北極的原因，關於大圓之間是最短距離請參閱兩點之間總是直線最短嗎？
