尤拉—勒讓德—高斯定理：奇素數p與q的勒讓德互反符號取決於公式
稱為二次互反定律的這一定律，由尤拉列出了公式但未給出證明。1785年勒讓德在與尤拉毫無聯絡的情況下，獨自發現了相同的定律，並作 了部分證明。
第一個完整的證明由高斯（1777 – 1855年）在他的奠定當代數論基礎的名著中作出的。的成果，尤其是對一基本定理”。這部五百頁的四開本充滿了深奧觀念的著作是高斯於20歲時寫的。“這確實令人驚奇，”克羅萊克（Kroneaker）說： “試想一個這樣年輕的人能夠獨自取得如此豐富個嶄新的學科提出如此深遠而又結構嚴謹的論述。”
此後高斯又發現了互反率的另外七種證明（高斯的證明參見奧斯特瓦德（Ostwald）的著作。二次互反率是數論的最重要定理之一。高斯稱其為“ickson）在他的著作中寫道：“二次互反率無疑是數論中最重要的工具，並且在數論的發展史中佔有中心位置。
這一定律的重要性導致了其他一些數學家像雅可比（Jacobi）、柯西、劉維爾（Liouville）、克羅萊克、謝林（Schering）和弗羅本里斯（Frobenius）繼高斯之後去探討這一定理並提出了證明。P·巴克曼（P· Bach mann）列舉了52種證明，並且就最重要的問題提出了報告。
也許所有證明裡最簡單的證明是下述算術—幾何證明，它是所謂高斯輔助定理和A·凱萊（Arthur Cayley，1821 – 1895年）的幾何思想⑧相結合的產物。
在作出證明之前先給出高斯輔助定理的推導。
設p為奇素數，D為不能被p整除的整數，如果x代表數1，2，3，...，p=p-2/2中的一個數，
Rx為除法Dx/p的普通餘數，gx為相應的整數商，於是（1） Dx = Rx + gxp。
按照Rx小於或大於1/2p，相應地令Rx=px或 Rx = ρx + p，
第二種情況中的ρx代表除法Dx/p的負的最小余數，得到
或
如果在ρ個除法Dx/p(對於1，2，3，p)出現n個個負的最小余數，就有n個等式(1b)和m = ρ – n個等式（1a）。
