摘要：利用經典力學的拉格朗日方法,分別討論了靜平衡的條件和連續介質動力學.利用哈密頓方法,介紹了相空間中獨特的平衡點以及適用於統計力學的穩定系綜分佈.這些例子表明:在分析力學的框架內,加速度概念已經去魅,所謂的“平衡態”也具有不同於牛頓方法的實現方式.
關鍵詞： 哈密頓方法 平衡態 廣義加速度 拉格朗日方法 理論力學
牛頓力學是近代科學的典範,也是學生最為熟悉的物理學理論.眾所周知,加速度是牛頓力學的核心概念.例如,一個粒子(質點)的加速度直接決定動力學,利用其向量定義a=v˙=r⋅⋅可求解運動方程,而靜力學是對應加速度為零(或所受合力為零)的特殊情況.推廣到n個粒子組成的系統,ai成為核心物理量(下標i代表粒子編號).此時靜力學由粒子加速度(或所受合力)均為零給出,若限定粒子初速度均為零,則系統處於力學平衡態,其滿足的條件可表述為r⋅⋅i=0, r˙i=0(1)
另一方面,牛頓力學只適用於宏觀、低速的物質世界.隨著物理學的發展,人們逐漸擺脫對牛頓力學的依賴,進而理解和發現物質運動的多樣性.在此過程中,去除對牛頓力學的既有核心概念(比如加速度)的魅力是一個關鍵的環節.這種去魅(或稱為祛魅,disenchanted)現象在科學發展史中屢見不鮮,它是人類知識進化的一個主導傾向.
即使侷限於經典力學領域,在拉格朗日、哈密頓等人建立和發展的分析力學方法中,加速度概念應該也呈現去魅的特徵.這正是本文具體闡述的內容.我們將強調指出:廣義加速度不再是對動力學起關鍵作用的核心概念;與此相關,靜力學的形式不同於上述牛頓力學的情況,所謂的“平衡態”也具有更豐富的實現方式.
1、拉格朗日力學
在經典力學的拉格朗日方法中,具有s個獨立自由度的系統,其運動由廣義座標qα和廣義速度q˙α描述(下標α代表自由度編號),則廣義速度的一階導數或廣義座標的二階導數q⋅⋅α就是拉格朗日形式下的加速度,通常稱為廣義加速度.
根據分析力學的基本假設[1],只要同時給定系統的廣義座標和廣義速度,則系統的力學狀態及其隨時間的改變就是完全確定的.這意味著利用動力學規律,加速度q⋅⋅α能夠表示為廣義座標、廣義速度和時間的函式形式,它不再是討論系統運動問題所必需的核心概念.
1.1靜力學和力學平衡條件
我們從達朗貝爾方程出發考慮問題.在牛頓方法中,靜力學要求粒子加速度為零(r⋅⋅i=0),則達朗貝爾方程退化為虛功原理.對於理想約束的完整系統,易給出[2]Qα=0(2)
式中α=1,2,…,s.這說明:當源自主動力的廣義力Qα均為零時,系統對應靜力學情況.利用拉格朗日方程,式(2)可改寫為
其中T為系統的動能,等式左邊是所謂的廣義慣性力[3].可見,廣義主動力為零或廣義慣性力為零決定了靜力學極限,這與前述的“粒子所受合力均為零”是有區別的.
另一方面,從式(3)不能給出q⋅⋅α=0.一般而言,由於約束的存在,s小於3n,廣義加速度不再具備牛頓力學中加速度的物理內涵,因此它是否為零並不能作為靜力學的判據.
假設考慮的是無初速度的系統,滿足式(2)則系統處於力學平衡態.事實上,靜平衡要求系統動能恆為零,由於T是廣義座標、廣義速度和時間的函式,消失的動能並不能給出q˙α=0,也給不出q⋅⋅α=0.顯然,形如式(1)的平衡條件只適用於牛頓向量力學,而不能外推到拉格朗日的框架中.此外,若主動力為保守力,式(2)可表述為
即力學平衡態處於系統勢能取穩定值的位置.形式上,式(4)迥異於牛頓力學給出的式(1).
總之,不同於牛頓方法的情況,拉格朗日方程是以能量量綱的物理量(比如動能、勢能、拉格朗日量等)為基本考察物件的,廣義加速度並非描述系統運動的核心概念.這表明在拉格朗日力學中加速度已經去魅.
1.2波動中的“加速度”
拉格朗日力學不僅適用於分立的粒子系統,也適用於一般的連續介質系統.本節將以經典連續系統——機械波為例說明後一種情況.
理論力學教材[2]已討論過彈性杆中的縱波,將廣義座標q=q(t)推廣為場量φ=φ(x,t),將拉格朗日函式推廣為拉格朗日密度,由拉格朗日方程給出
其中v為波速.在三維情況下,場量成為φ=φ(r,t),類似地可得到
這裡,式(5)中的∂2∂x2替代為拉普拉斯算符2,上式是經典場論中熟知的波動方程.
顯然,我們不能將φ⋅⋅定義為所謂的廣義加速度.在這種情況下,是否仍然存在類似於加速度的物理量?如果存在,它對揭示連續介質的動力學有何幫助?為了回答這些問題,我們首先闡明2φ的物理意義.定性地講,它反映場量與其鄰近位置處的平均值之間的關係.若某位置處場量為φ,在包含該位置的一個無限小鄰域內的場量平均值為φ¯¯,那麼2φ就量度了上述兩者的差值,即
上式中比例係數與無限小鄰域的尺度有關,例如,記無限小鄰域構成的立方體的邊長為b,則上式可具體表述為b2242φ=φ¯¯−φ,推導可詳見參考文獻[4].
利用式(7),波動方程可表述為如下比例式:
這裡,與波速v、線度b有關的常數已歸結為比例係數.上式表明,當φ處於比其所在領域內的平均值φ¯¯小的位置時,∂2φ∂t2取正值;當φ處於比其平均值φ¯¯大的位置時,∂2φ∂t2取負值.因此,∂2φ∂t2的作用是使場量的取值趨於其所在鄰域內的平均值.
這一物理影象非常類似粒子的機械振動,後者在一維情況下可表示為
顯然,加速度x⋅⋅的作用是使粒子位置趨於其平衡位置x¯.比較式(8)和式(9)可知:在波動問題中,類比粒子加速度的物理量正是∂2φ∂t2,即場量在固定位置處、關於時間的二階偏導數.
引入上述“加速度”對理解連續系統的動力學是有幫助的:處於φ=φ¯¯的位置時,“加速度”消失,但“速度”(即∂φ∂t)並不為零;一旦偏離該平衡位置,“加速度”開始出現,導致波動重複著同樣的運動模式.
總之,在拉格朗日的場論表述中,通常定義的加速度並不存在,這體現了加速度的去魅.另一方面,藉助與粒子動力學的類比,形式上能給出波動中的“加速度”.這體現了加速度的演化,說明至少在經典力學範疇內加速度概念仍有其價值.
2、哈密頓力學
在經典力學的哈密頓形式中,系統運動由廣義座標qα和廣義動量pα描述,它們處於同等地位,統稱為正則座標.正則座標構成2s維的相空間,在相空間中考察系統動力學是哈密頓力學的主要特色.
根據分析力學的基本假設[1],正則座標完全確定系統的力學狀態.這樣,廣義加速度和廣義速度可表示為正則座標和時間的函式形式,它們都不再是哈密頓力學所必需的核心概念,因而它們都應呈現去魅的特徵.本節將以兩種獨特的“平衡態”為例討論問題.
2.1相空間中的平衡點
哈密頓動力學由正則方程
給出.令正則座標的一階導數同時為零,即q˙=p˙=0(為簡潔計已略去下標α).若記滿足此條件的正則座標為q0和p0,則式(10)可改寫為
上式對應與時間無關的定常狀態解,既然它不能給出一條隨時間變化的軌跡,(q0,p0)只能對應相空間中的一個特殊點,且沒有任何軌跡經過該點.從這個意義講,滿足式(11)的特殊點是相空間中的奇點,也被稱為相空間中的平衡點.它的引入對闡明非線性動力學十分重要.例如,在該點處給系統以小的擾動,在一定條件下就可能演化為非線性系統[5].
基於牛頓的粒子動力學影象,正則座標的一階導數q˙通常與粒子速度有關,而p˙通常與粒子加速度有關.在這個意義上,式(11)似乎等價於牛頓方法給出的平衡條件式(1).但是,正是由於哈密頓力學中速度和加速度都已去魅,這種形式的相似不意味著兩種狀態的等價.事實上,式(11)定義的“平衡態”和第1節討論的力學平衡態具有完全不同的物理內涵:力學平衡態給出的是所有粒子在位形空間中處於靜止的狀態;平衡點給出的是動力學系統在相空間中的奇點,它只反映了動力學系統未被擾動的特殊狀態.
2.2穩定系綜和熱學平衡態
作為哈密頓力學的另一個應用,本節討論經典統計力學的情況.對於力學系統,其動力學由相空間中代表點的軌跡描述;然而,統計力學不關注個別代表點的軌跡,它關注的是所有可能的代表點構成的“點雲”的平均變化情況.這種“點雲”就是所謂的系綜,即遵循同樣力學規律的系統及其“複製品”的集合.
我們考慮穩定系綜的情況.此時,系綜密度ρ=ρ(q,p,t)不顯含時間,因此係綜代表點在相空間中形成穩定“流動”(類比指定位置處流速確定的流體).利用“流體連續性”和劉維定理,可以證明系綜密度滿足[3]:
∑α(∂H∂pα∂ρ∂qα−∂H∂qα∂ρ∂pα)=0(12)
若採用泊松括號,上式記為
[H,ρ]=0(13)
由哈密頓力學可知,式(13)表明系綜密度是與時間無關的運動積分.這樣,系綜密度對正則座標的依賴關係可以透過其對哈密頓函式的依賴關係得以實現,這可以具體表述為[6]
ρ(q,p)=ρ[H(q,p)](14)
上式中[]代表泛函形式,它涵蓋了穩定系綜條件下密度函式的全部型別.例如,在微正則系綜情況下,系綜密度僅與能量有關,求解熱力學只需有限個給定的能量超曲面.
穩定系綜情況下,物理量的系綜平均值將與時間無關,熱學系統處於平衡態.此時,大量微觀粒子仍保持無規則運動,因此熱學平衡態當然不同於力學平衡態.從式(14)可知,熱學平衡態由力學系統的哈密頓量決定,而不是由力學系統的具體正則座標決定.從這個意義講,研究宏觀熱學系統時,人們無需知道、也無從知道微觀粒子的具體力學性質(特別是微觀粒子的加速度情況).可見,牛頓力學的核心概念——加速度不對熱學平衡態的描述有任何作用,它完全退出了統計力學的“舞臺”.這是加速度去魅的又一例證.
附帶指出,若進一步引入系統的熱力學函式,熱學平衡態將出現於熱力學函式取穩定值的情況,熱平衡條件將具有類似式(4)的形式.統計力學教材對此已有討論[6],不再贅述.
3、結論
以分析力學內容為主的理論力學是物理學類專業本科生的必修課程.許多學生之所以感到課程抽象難懂,主要是因為他們未能擺脫牛頓力學的思維方式,特別是未能去除對加速度等概念的依賴.從這個意義講,本文內容為理論力學教學提供了全新的視角.筆者的教學實踐表明,強調加速度等概念的去魅及其導致的變化,有助於學生建立對力學的新認識、理解分析力學作為普適動力學理論的優越性.
另一方面,除力學平衡態外,本文介紹了相空間中的兩種獨特的“平衡態”.這些討論從另一側面說明了加速度概念的去魅.筆者的實踐表明,它們既豐富了課程的教學內容、開闊了學生的眼界,又為後續課程提供了更為堅實的基礎.
當然,在現今理論力學課時縮減的形勢下,如何將本文內容有機地融入教學實踐,尚值得進一步探究.此外,唯象相互作用(表觀力)在現代物理學中的去魅過程也是一個值得深入討論的課題,限於篇幅本文未予涉及.
