1928年，數學家約翰·福布斯·納什（John Forbes Nash Jr）出生於西弗吉尼亞州。他於2015年5月23日在新澤西州的一場車禍中去世，幾天前他在奧斯陸（挪威首都）獲得了著名的阿貝爾獎。在2001年奧斯卡獲獎電影《美麗心靈》中，納什的故事被廣泛傳播開來。
早年(1928-45)
納什在他的諾貝爾自傳中描述了他小時候讀了很多書，包括康普頓的《圖畫百科全書》。納什很早就表現出對實驗的極大興趣。在他12歲的時候，他已經 "把自己的房間變成了一個實驗室。他擺弄收音機，玩弄電器小玩意，做化學實驗。
在他讀高三時，他獲得了喬治-威斯汀豪斯獎學金。追隨父親的腳步，納什於1945年申請進入卡內基技術學院學習工程。
在卡內基技術學院（1945-48年）
納什在卡內基理工學院（現在的卡內基梅隆大學）上了四年的大學。納什最初就讀於化學工程專業，後來轉到化學專業，他大部分時間都在反抗該專業的制度化和課程中缺乏數學的嚴謹性。作為一個天生的研究者，他反對這樣的觀念，即衡量一個人的表現 ：
不是看他的思維能力有多強，而是看他在實驗室裡能不能處理好吸管和進行滴定"（納什，1998）。
當他回到大二時，納什發現一群出色的新研究人員加入了大學的教員隊伍，包括物理學家約翰-辛格、理查德-達芬，以及數學家勞爾-博特和亞歷山大-溫斯坦。從一開始，納什就以他的聰明才智吸引了他們的注意。他們最終促使他從化學轉向數學，並認真考慮學術生涯。到了第二年的中期，他幾乎只專注於數學。
最後我在數學方面學到了很多東西，並取得了很大的進步，以至於我畢業時，他們除了給我學士學位外，還給了我一個碩士學位。
到1948年春天，也就是他大三的時候，納什已經被哈佛、普林斯頓、芝加哥和密歇根大學錄取。在卡內基，達芬和辛格都建議納什選擇普林斯頓。儘管哈佛大學是他的第一選擇（因為其聲譽、社會地位和師資），但納什在普特南競賽中表現平平，導致哈佛大學提供的資金略低於普林斯頓大學。根據他的諾貝爾自傳，普林斯頓離他在布魯菲爾德的家人很近，這是一個額外的考慮。這些因素，再加上他在卡內基的老師的鼓勵，納什最終決定選擇普林斯頓，並於1948年夏天前往新澤西。
- 左圖：納什在卡內基理工學院的論文導師理查德·達芬給普林斯頓大學所羅門·萊夫謝茨教授的推薦信。右圖：卡耐基數學系系主任約翰·辛格的推薦信
在普林斯頓大學(1948-51)
納什20歲時進入研究生院。當時，普林斯頓大學的數學系充滿了聰明的大腦，由萊夫謝茨領導。萊夫謝茨的學生阿爾伯特-W-塔克主導的博弈論在當時完全是一門新建立的學科。約翰-馮-諾伊曼和經濟學家奧斯卡-摩根斯坦在1944年出版的《博弈和經濟行為理論》一書，使這門學科煥發了活力。
納什的遊戲（Hex）
到20世紀40年代末，教師和研究生們最喜歡的消遣方式是棋類遊戲，包括著名的圍棋。在此期間，納什自己發明了一種後來被稱為 "Hex "的遊戲。然而在當時，普林斯頓大學的每個人都簡單地稱這個遊戲為 "納什遊戲"。納什遊戲是在一個14x14（通常）的菱形網格上進行的，使用黑色和白色的棋石。兩位棋手交替將棋子放在六邊形空間內。棋子一旦下完，就不能再移動。每位棋手的目標是構建一條從棋盤的一條邊到另一條邊的棋子連線路徑。
納什是第一個證明Hex不能以平局結束的人。這個結果被稱為 "Hex定理"。該定理後來被證明等同於著名的布勞威爾定點定理。
- Hex遊戲棋盤
布勞威爾定點定理在此值得一提，因為它被用於納什對納什均衡的首次證明，他最終因此獲得了1994年諾貝爾經濟科學紀念獎。它的延伸，即角谷不動點定理，後來也被納什用於同一結果的更優雅的證明中。
角谷定點定理（角谷，1941年）
設S是某個歐幾里得空間R^n的一個非空的、緊湊的、凸的子集。讓φ: S -> 2^s是S上的一個集值函式，它有一個封閉的圖形，其性質是φ(x)對所有x∈S都是非空的和凸的，那麼φ有一個固定點。
為了理解它的屬性，舉例來說，想想一個定義在閉合區間[0,1]上的集值函式f(x)，它把一個點x對映到閉合區間[1-x/2, 1-x/4]。那麼f(x)一定有固定點。在上圖中，紅線上與函式圖（灰色）相交的任何一點都是一個固定點，因此在這種特殊情況下有無限多的固定點。
除了他關於Hex遊戲不可能以平局結束的定點證明之外，納什還提供了一個還原性的存在證明，即在任何大小的棋盤上，Hex遊戲的先手方都有一個獲勝的策略。這個證明在其他一些遊戲中也很常見，並被稱為策略竊取論。
納什的研究(1948-58)
在數學家的分類學中，有問題解決者和理論家，納什屬於第一類。
由於受到後來的精神疾病的影響，納什的主要研究生涯非常短暫，從1948年來到普林斯頓到1958年被診斷出精神病，只有九年時間。關於他自己的研究生研究，納什本人在他的諾貝爾自傳中說：
作為一個研究生，我研究了相當廣泛的數學，並且很幸運，除了發展了導致 "非合作博弈 "的想法，我還發現了關於流形和實代數的多樣性。因此，我實際上已經準備好了，博弈論研究在數學系不被視為可接受的論文，然後我可以用其他成果實現博士論文的目標。
- 納什在1950年的博士畢業典禮上
1950年，他在22歲時獲得了普林斯頓大學的數學博士學位。 他28頁的博士論文題為《非合作性博弈》（1950）。這篇論文是在塔克的指導下撰寫的，其主要成果是納什均衡的推導、定義和特性描述。
討價還價問題（1949年）
納什的第一篇期刊論文（在他研究納什均衡之前寫的）也是博弈論方面的，涉及討價還價的經典經濟問題。
納什的論文描述了一種討價還價的情況，即兩個人有機會互利，但其中一個人單方面（未經同意）採取的任何行動都不能影響另一個人的利益。想一想經典的 "分割和選擇協議"，即兩個人試圖平均分配一個蛋糕，其中一個人切，另一個人選擇他想要的那一塊。
納什的論文旨在對這種討價還價的情況進行理論討論，並在某些條件和其他“理想化”的情況下提供一個明確的“解決方案”。這種理想化包括這樣的假設：兩個人都是理性的，能夠準確地比較他們對各種事物的偏好，擁有平等的討價還價技能，以及關於另一個人偏好的完整資訊。
納什採用了馮-諾伊曼和摩根斯坦的《遊戲與經濟行為理論》中提出的效用概念。它還採用了期望值的概念，以確定在各種策略下，不同玩家的所得將是多少。納什在他的論文中用一個叫史密斯先生的人作為例子，他知道自己明天會得到一輛別克車，因此可以說他有 "別克車的期望"。同樣地，他也可以有 "凱迪拉克的期望"。如果他知道明天會丟擲一枚硬幣來決定他是得到一輛別克還是凱迪拉克，我們可以說他有50%的別克和50%的凱迪拉克的期望。
納什為發展這種情況下單個人的效用理論提供了充分的假設，並著手將他的論文與《遊戲與經濟行為理論》中的論文區分開來。在他看來，《遊戲與經濟行為理論》有不足之處，因為它沒有試圖為每個人參與遊戲的機會找到價值，除非這個遊戲是零和的。然後，納什繼續推匯出這種兩人非零和遊戲中玩家的預期值。
納什定義了兩個人的效用函式u_1、u_2和c(S)為集合S中的解點，這個集合是緊湊的、凸的幷包括原點。他提出了必要的假設，並表明這些條件要求解是位於第一象限的集合中的點，其中u_1u_2被最大化。集合的緊湊性保證了它的存在，而凸性則保證了它的唯一性。
納什與約翰-馮-諾伊曼
儘管與馮-諾依曼和摩根斯坦在“合作博弈理論”方面的研究成果有些對立，但納什為非合作博弈理論建立基礎的成果顯然源於馮-諾依曼的工作（說明這一點的是，1978年納什因其發現納什均衡而被授予約翰-馮-諾依曼理論獎）。
現在只能找到一個關於納什和馮-諾伊曼之間交流的記錄，儘管肯定還有很多現在已經被時間遺忘的記錄。在他定義納什均衡之前，去找馮-諾伊曼談話。
他狂妄地告訴秘書，他想討論一個馮-諾伊曼教授可能感興趣的想法。對於一個研究生來說，這是一件相當大膽的事情（但這是典型的納什，他在一年前帶著一個想法的萌芽去見愛因斯坦）。納什開始像馮諾依曼描述他心目中的證明，即在兩個以上玩家的博弈中的均衡。但是，在他說出幾個不連貫的句子之前，馮-諾伊曼打斷了他，跳到了納什論證中尚未說明的結論，並突然說："那是微不足道的，你知道，這只是一個固定點定理。
馮-諾伊曼沒有看到納什的討價還價理論的價值。然而，馮-諾依曼和摩根斯坦恩最終確實為納什提供了寶貴的指導，在發表的版本中，納什承認了他們兩人的作用，他寫道："作者希望感謝馮-諾依曼和摩根斯坦恩教授的幫助，他們閱讀了論文的原始形式，並對論文的表述提出了有益的建議。"
納什均衡（1950年）
我想我已經找到了一種方法來概括馮-諾依曼的最小-最大定理，其基本思想是，在兩人的零和解決方案中，兩人的最佳策略是......整個理論都建立在這個基礎上。而且它適用於任何數量的人，不一定是零和遊戲！（納什）
蓋爾意識到，納什的想法適用於比馮-諾伊曼的零和博弈概念更廣泛的現實世界情況。
蓋爾還透過向國家科學院起草一份報告，幫助納什儘快發表自己的研究成果。結果在不到一頁題為《N人博弈的均衡點》的文章中出現在了1950年1月的《美國國家科學院院刊》第36捲上。
這個結果，後來被稱為納什均衡。該定理非正式地指出：
如果沒有任何一方可以透過單方面改變自己的策略而做得更好，那麼一個策略配置就是納什均衡。
也就是說，在二人博弈中，一對策略構成納什均衡。沒有一個玩家可以獨自改變自己的策略來獲得更優的結果。至關重要的是，雙方都不知道對方會選擇什麼策略，而是隻根據自己的利益行事，並瞭解其他玩家的利益。這一發現適用於n個參與者。
其他成果
實代數流形（1952年）
納什的另一個可能的博士論文結果，被他描述為“關於流形和實代數族的一個很好的發現”，與他在納什均衡方面的工作非常不同，這個非常深入的研究是高度抽象和缺乏應用的。
在他的論文《實代數流形》中，納什自己寫道，該論文的主要目的是 "發展微分幾何和實代數幾何之間的一些聯絡"。
代數族是代數幾何中的核心研究物件。它們是由一個或多個代數方程描述的點的位置所定義的物件。思考它們的一種方式是將代數曲線（歐幾里得平面上的點的集合，其座標是某個雙變數函式的零點）概括為n個維度，例如單位圓，它是多項式x^2+y^2-1的零點集合。 扭曲立方體是代數族的一個例子：
- 扭曲立方是一個投影代數簇
流形是一個拓撲空間，它在每個點附近都與歐幾里得空間相似，也就是說，n維流形的每個點都有一個與n維歐幾里得空間同構的鄰域。
另一方面，流形是區域性類似於規則的、正常的歐幾里得空間的拓撲物件，即在一維線的情況下 "看起來很直"，在二維平面的情況下 "很平"。簡單地說，它們是整體上實際上拓撲不規則的物體，但區域性上似乎不是。
流形的概念現在是幾何學許多部分的核心，因為它允許複雜的結構用正常歐幾里得空間的較簡單的區域性拓撲特性來描述和理解。這使得它們在物理學，特別是宇宙學和天體物理學中特別有用。在一維空間中，流形可以是一條直線或一個圓，但不是一個八字形，因為它的交叉點與歐幾里得1維空間沒有區域性同構關係。在二維空間中，流形是一些表面，如平面、球面、環面、克萊因瓶和實投影面，所有這些都可以嵌入三維實空間中。
代數流形，是代數族，也是流形。也就是說，它們是一組多項式方程組的解，在每個點附近也與歐幾里得空間區域性相似。它們可以被定義為實數和複數。因此，代數流形是由多項式定義的平滑曲線和曲面概念的概括。最典型的例子是球體，它可以被定義為多項式x^2+y^2+z^2-1=0的零集。
納什的論文特別著眼於R上的代數流形，即那些由實數定義的點組成的流形。這種函式後來也被稱為納什函式。
流形嵌入（1956）
納什在拓撲學方面的研究被許多數學家認為是他最傑出的成果。在一次討論中，一位納什的反對者說：“如果你這麼牛逼，你為什麼不去解決流形嵌入問題，這是一個眾所周知的難題，自黎曼提出以來就一直存在。”
納什做到了。
抽象黎曼流形在多大程度上比歐幾里得空間的子流形更普遍?
納什在一篇題為“C¹-isometric imbeddings”的高度技術性論文中解決了這個問題。論文共分為四個部分。正如納什本人說，對緊湊流形的處理已經完成，我們陳述了定理2，其本質上是這樣的：
納什定理，後來被稱為納什嵌入定理，指出任何型別的流形（表面、體等），只要表現出一定程度的平滑性（即沒有交叉點和奇異點），都可以嵌入歐幾里得空間中。
納什的證明回答了 "將任何黎曼流形嵌入歐幾里得空間 "是否可能的問題。一方面，這個關於幾何學基礎的 "深刻的哲學問題 "可能是每個感興趣的數學家都曾問過自己的問題。另一方面，納什的證明為一個開放的問題提供了一個重要而明確的答案，而大多數人，甚至該領域的大多數專家都會認為這個問題是錯誤的。與他在博弈論方面的工作不同，這個結果確立了納什作為一個一流的純數學家的地位。
偏微分方程(1958)
最終導致納什在2015年與路易斯-尼倫伯格一起獲得阿貝爾獎的論文題為《拋物線和橢圓方程解的連續性》。這篇論文解決了非線性偏微分方程的問題。關於它的起源，尼倫伯格回憶說：
我從事偏微分方程的研究。我還研究過幾何學。這個問題與某些叫做橢圓偏微分方程的不等式有關。這個問題在這個領域已經存在了一段時間，很多人都在研究它。早在1930年代，就有人在二維空間獲得了這種估計。但在更高維度上，這個問題已經開放了30年。
- 拋物型和橢圓型方程解的連續性。
據稱，納什在尼倫伯格提出這個問題後就開始研究。20世紀50年代的數學家們知道用計算機解決常微分方程的相對瑣碎的程式。然而，當時還沒有解決非線性偏微分方程的既定方法，例如在噴氣發動機的湍流運動中出現的那些方程。納什自己也寫了關於這項工作的文章。
對於粘性、可壓縮和導熱流體的一般流動方程的解的存在性、唯一性和平穩性知之甚少。這些是一個非線性拋物線方程組。對這些問題的興趣促使我們開展這項工作。很明顯，如果沒有處理非線性拋物線方程的能力，對一般流體流動的連續描述就無能為力，而這又需要對連續性的先驗估計。
納什花了大約六個月的時間才得出他的定理。到了1958年春天，納什能夠使用他自己發明的方法獲得基本的存在性、唯一性和連續性定理。令人吃驚的是，這些方法涉及 "將非線性方程轉化為線性方程，然後用非線性方法來解這些方程"，這是以前沒有人想到的，這是 "天才之舉"。
大約在同一時間，納什的成就確實也引起了其他人的注意。《財富》雜誌在其7月號上刊登了一篇關於這位30歲的年輕人的故事。在納什於2015年去世後，這篇報道被重新發表在該雜誌的網站上。
精神疾病（1959-80年代）
這些想法來到我身邊，與我的數學想法一樣。所以我相信它們。納什
納什的精神疾病首先表現為妄想症。他的談話總是將數學和神話混合在一起。在他的博弈論課程中，據上課的學生說，納什的表現和他平時一樣。他在沒有事先宣佈的情況下進行了期中考試。他還經常踱步，有時在講課或回答學生問題的過程中陷入沉思。
納什在1959年首次住院治療。1961年，他被送入位於特倫頓的新澤西州立醫院，在那裡他接受了抗精神病藥物和胰島素衝擊療法。在接下來的9年裡，他在精神病院裡進進出出，在清醒期和偏執期之間跳來跳去。1970年後，他再也沒有被送進醫院，並且在他的餘生中著名地拒絕了所有的藥物治療。
在60年代後期我回到夢境般的妄想假設後，我成為一個受妄想影響的人，但行為相對溫和，因此傾向於避免住院和精神病醫生的直接關注。
我不太記得時間順序，到底是什麼時候我從一種思維方式轉為另一種。我開始與聲音的概念爭論。最終我開始拒絕他們，並決定不聽。
諾貝爾獎 (1994)
1994年10月11日，瑞典中央銀行紀念阿爾弗雷德·諾貝爾經濟學獎宣佈，1994年諾貝爾經濟學獎將授予：
- 加州大學伯克利分校的約翰-C-哈薩尼教授
- 普林斯頓大學的約翰-F-納什博士
- 萊茵弗里德里希-威廉姆斯大學的Reinhard Selten教授
以表彰他們在非合作博弈理論中對均衡的開創性分析。新聞稿將非合作博弈理論與馮-諾伊曼和莫根斯坦的早期開創性工作區分開來。關於納什的研究，該委員會寫道：
約翰-F-納什提出了合作博弈和非合作博弈之間的區別，在合作博弈中可以達成有約束力的協議，而在非合作博弈中，有約束力的協議是不可行的。納什為非合作性博弈提出了一個均衡概念，後來被稱為納什均衡。
- 哈羅德-庫恩（左）和納什（右）
晚年生活（20世紀80年代-2015年）
個人生活
1953年，納什與他的第一任女友，一位名叫埃莉諾-斯蒂爾（1921-2005）的護士生了一個兒子。這個孩子被命名為約翰-大衛-斯蒂爾，於6月19日出生。當納什還是普林斯頓大學的研究生時，他遇到了艾麗西亞-拉爾德，兩人於1957年2月結婚，並有一個兒子約翰-查爾斯-馬丁-納什。馬丁-納什在羅格斯大學獲得了數學博士學位，是國際象棋大師，也患有精神分裂症。在納什患病期間，艾麗西亞於1963年與他離婚，但他們繼續住在一起。38年後的2001年，他們重新結婚。
美麗的心靈
對納什的生活和事業的認識和記錄，大部分要歸功於他的傳記作者西爾維亞-納薩爾。她的《美麗心靈》一書於1998年發行，成為《紐約時報》的暢銷書，並在同年贏得了國家書評人協會的傳記獎，還入圍了普利策獎的評選。
阿基瓦·戈德曼後來改編了這本書。這部電影由朗·霍華德執導，羅素·克勞飾演納什，於2001年上映。這部電影在全球獲得了超過3.13億美元的票房收入，並贏得了四項奧斯卡獎，包括最佳影片、最佳導演和最佳改編劇本。
羅恩-霍華德在他的奧斯卡獎獲獎演說中感謝了納什和艾麗西亞兩人。影片上映後，納什的傳記作者西爾維婭-納薩爾出現在查理-羅斯節目中，在題為《精神分裂症與天才》的節目中講述了納什的故事。
死亡與超越 (2015)
2015年5月23日，約翰和艾麗西亞在一場車禍中喪生。他們在奧斯陸旅行後從紐瓦克機場返回普林斯頓。根據新澤西州警察的說法，他們乘坐的計程車在新澤西州高速公路的左車道上向南行駛，司機在試圖超過另一輛車時失去了控制。計程車撞上了護欄，然後又撞上了右邊車道上的另一輛車。納什和艾麗西亞都沒有系安全帶……
數學中的開放性問題
在晚年，納什編輯了一本關於純數學中一些最基本的開放問題的解決現狀的論文集。該書名為《數學中的開放問題》。不幸的是，納什沒能看到這本書的出版，該書於2016年出版。
