機器之心報道
編輯：杜偉、陳萍
本想著或許可以取得一些不錯的進展，沒想到取得了意料之外的收穫。
等角線（Equiangular Lane）是一個數學用語，通常在數學上這樣表示：在△ABC 中，線上段 BC 上取 P、Q，使得∠BAP=∠CAQ，則稱 AP、AQ 為△ABC 中的等角線。
更簡單的說，等角線是空間中透過一個點的線，其對角都是相等的。想象一下二維正六邊形的三條對角線，三維正二十面體的六個對頂點的連線線，參見下圖：
然而，數學家們並不侷限於三維。有研究者認為在更高維度也存在等角線，並且在高維度上，等角線的可能性幾乎是無限的。據瞭解，這是一個困惑了數學家們至少 70 年的問題。
來自 MIT 的研究者認為在高維空間中等角線並不是無限的。他們突破性的研究決定了可以放置的線的最大可能數量，以便這些線以相同的給定角度成對分開。論文將發表在 2022 年 1 月的《數學年鑑》上。
論文地址：https://arxiv.org/pdf/1907.12466.pdf
論文作者包括 MIT 數學系助理教授趙宇飛（Yufei Zhao），以及本科生 Yuan Yao 和 Shengtong Zhang、博士生 Jonathan Tidor 和博士後 Zilin Jiang。
中間為趙宇飛。圖源：Sandi Miller/MIT Department of Mathematics
趙宇飛於 2017 年 7 月加入 MIT 數學系，擔任助理教授。2010 年趙宇飛獲得 MIT 數學和計算機科學雙學士學位，2011 年獲得劍橋大學數學碩士學位，2015 年獲得 MIT 博士學位。他的主要研究領域是組合數學（Combinatorics），他對組合數學中的極值、機率和加法問題以及與數學和理論計算機科學其他領域的聯絡感興趣。此外他還一直在開發連線圖論和加法組合數學的工具。
等角線的數學可以用圖論編碼。這篇論文為一個被稱為譜圖理論（spectral graph theory）的數學領域提供了新的見解，並且為研究網路提供了有力的數學工具。其中譜圖理論帶來了計算機科學中的重要演算法，如谷歌搜尋引擎 PageRank 演算法。
這種對等角線的新理解為編碼和通訊領域帶來了巨大的意義。等角線是「球形編碼」的示例，它是資訊理論中的重要工具，允許不同方面在一個嘈雜的通訊渠道上相互發送資訊，如 NASA 與其火星探測器之間傳送的資訊。
持續 70 年的問題終於有了滿意的解決方案
1973 年，荷蘭烏得勒支大學數學系的 P.W.HLemmens 和埃因霍芬理工大學數學系的 J.J Seidel 在論文《Equiangular lines》中提出研究具有給定角度的等角線的最大值問題。
論文地址：https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0021869373901233?via%3Dihub
普林斯頓大學數學系教授諾加 · 阿隆（Noga Alon）表示，「這是一個美麗的結果，為極值幾何中自 1960 年代以來受到廣泛關注並得到充分研究的一個問題提供了令人意想不到的答案。」
但正如論文通訊作者趙宇飛所言，MIT 的新工作為這一問題提供了「令人滿意的解決方案」。他表示，「最初關於這一問題就有了一些好想法，但之後人們的研究停滯了近三十年時間。」
數年前，蘇黎世聯邦理工學院數學系教授 Benny Sudakov 在內的研究團隊在這一問題上取得了一些重要進展。2018 年 2 月在訪問 MIT 時，Benny Sudakov 在組合數學研究研討會上介紹了他關於等角線的工作。
論文一作 Zilin Jiang 在其 CMU 前博士生導師 Bukh Boris 的工作基礎上受到啟發，並在 2019 年夏季與趙宇飛組隊，同時邀請 Jonathan Tidor、Yuan Yao 和 Shengtong Zhang 加入團隊。對此，趙宇飛解釋道，「當時我想要找到一個不錯的夏季研究專案，這個問題非常值得研究。最開始只想著或許可以取得一些不錯的進展，但徹底解決這一問題完全在我的意料之外。」
這項研究得到了艾爾弗 · 斯隆基金（Alfred P. Sloan Foundation）和美國國家科學基金會的部分支援。在過程中，Yuan Yao 和 Shengtong Zhang 透過 MIT 數學系夏季本科生研究專案（SPUR）參與這項研究。這一成果為他們贏得了 SPUR 專案的 Rogers Jr. 最佳論文獎。
解決方案中使用到的最關鍵的數學工具之一是譜圖理論，該理論告訴人們如何使用線性代數工具來理解圖和網路。透過將一張圖變成矩陣並檢視其特徵值來獲得圖中的「譜」。
與譜圖理論的聯絡。在等角集合中每條線的方向上選擇一個單位向量。透過考慮 Gram 矩陣，我們將問題重新轉化為與關聯圖的鄰接矩陣的頻譜有關的問題。等角線和譜圖論之間的聯絡在早期的工作中已經眾所周知，使得等角線成為代數圖論的基礎問題之一。
與譜圖理論的關係。在等角集的每條邊的方向上選擇一個單位向量。透過選擇格拉姆矩陣（Gram matrix），研究者將該問題轉化為與關聯圖鄰接矩陣頻譜相關的問題。等角線和譜圖理論之間的關聯在早期的工作中已為人熟知，從而使等角線成為代數圖理論的一個基礎問題。
該研究在光譜圖理論中提供了一個新的定理——有界（bounded）標度圖必須具備亞線性的第二特徵值多重性。這一證明需要巧妙地將圖譜與圖的小塊頻譜聯絡起來。
參考連結：
https://www.cnbeta.com/articles/science/1188279.htm
https://news.mit.edu/2021/mathematicians-solve-old-geometry-problem-equiangular-lines-1004
