sinx/x的極限x趨近於0，結果等於1。這是第一個重要極限，你可能每天都在用，因為它在高等數學中的應用非常廣泛，用得特別多，但你對它的瞭解有多少？真正瞭解它了嗎？
這個極限用極限的定義非常麻煩。所以一般都是用夾逼定理，又稱為極限的迫斂性來證明的。
當x在0到二分之π之間時，有重要的不等式sinx<x<tanx，因此在這個區間上，不等式的三個式子同時除以sinx，得到1<x/sinx<1/cosx. 同時取倒數可以得到cosx<sinx/x<1。
又cos(-x)=cosx, sin(-x)/(-x)=sinx/x，即由偶函式的性質，可以知道當x在負二分之π到0之間時，依然有cosx<sinx/x<1。從而，當x在U0(0,π/2)的空心鄰域上時，cosx<sinx/x<1。而cosx在x趨於0時的極限為1，1的極限自然也為1了。由極限的迫斂性，就有sinx/x在x趨近於0的極限也等於1.
而當我們學到無窮小以及等階無窮小的知道時，我們可以由sinx與x是同階無窮小，直接得到sinx/x在x趨於0時，它的極限等於1的結論。不過你也可以說，我們是由這個極限等於1推出sinx與x是等階無窮小的，所以不能使來反推。
其實並不是這樣的，因為sinx和x在x=0的導數都等於1，所以它們是等階。這又牽連出另一個重要的求極限方法 ，就是關於導數的洛必達法則。對於0比0型的極限，我們可以對分子分母同時求導，以求得極限的值。
最後是在這個極限的應用上，我們見得最多的就是換元法的應用。比如求sin2x/(2x)在x趨於0時的極限。只需令t=2x，則有當x趨於0時，t也趨於0，因此sin2x/(2x)=sint/t在t趨於0時，它的極限也等於1. 再變化一下，求sin2x/x在x趨於0時的極限，那麼可以把函式化為2sin2x/(2x)，就有原極限等於2x。
另外，sinx/x和x/sinx在x趨於0時，它們的極限是相等的，但不能說他們是同一個極限。因為，當x趨於無窮時，前者等於0，後者的極限並不存在。
