摘要：為了研究形狀記憶合金懸臂樑在自由端加集中載荷下截面以及沿梁軸向上的力學行為，基於梁的彎曲變形理論，根據相邊界所處的不同狀態分階段分析SMA工字型梁的拉壓不對稱問題，建立非線性彎曲變形控制方程，得到梁中性層､曲率､自由端撓度及相邊界的變化情況，分析結果得到拉壓不對稱係數對彎曲變形的影響。拉壓不對稱係數越大，撓度增長速率也越小，相同載荷下所達到的最大撓度越小。
關鍵詞： 形狀記憶合金 懸臂樑 拉壓不對稱係數 相變
形狀記憶合金(SMA，shapememoryalloy)自被發現以來就因其獨特的特性得到國內外眾多學者的研究，現在已經被廣泛應用與航天､機械､醫學等眾多領域[1]。SMA作為一種智慧材料，它的智慧性就體現在超彈性和形狀記憶效應2種特性。為了探明SMA發生相變的原理，眾多學者進行了深入研究並得出了價值不菲的成果。Auricchio等[4]提出了一種基於溫度作為控制變數的一維模型來描述拉伸和壓縮過程中奧氏體與馬氏體體積分數的變化。Souza等[5]以相變應變為變數，並以此構造了自由能函式推導得到三維本構模型。Ahmadreza等[6]在沿截面高度的應變分佈是線性的假設上研究了不同溫度和載荷下形狀記憶合金懸臂樑載入與解除安裝過程中的力學效能。崔世堂等[7]基於實驗得到的形狀記憶合金非線性的應力G應變關係，引入拉壓不對稱係數研究了形狀記憶合金純彎曲梁的力學效能。商澤進等[8]基於實測的形狀記憶合金材料應力G應變關係曲線，同時考慮SMA拉壓力學效能的不對稱性及簡支端移動等因素，建立形狀記憶合金梁非線性彎曲變形的控制方程。目前研究SMA在載荷､溫度和約束等條件下對其力學效能的影響，大多建立在拉壓兩側相變過程是對稱的基礎上，而對於拉壓不對稱的研究大部分也僅限於純彎曲梁[9]，對於非純彎曲梁的拉壓不對稱性的研究尚少。
為了研究形狀記憶合金懸臂樑在自由端加集中載荷下截面以及沿梁軸向上的力學行為，基於梁的彎曲變形理論，引入拉壓不對稱係數。根據相邊界所處的不同狀態分階段分析SMA工字型梁的拉壓不對稱問題，建立非線性彎曲變形控制方程，得到梁中性層､曲率､自由端撓度及相邊界的變化情況，並分析得到拉壓不對稱係數對彎曲變形的影響。
1､SMA梁的非線性彎曲變形
形狀記憶合金懸臂樑長l，高度2h，寬度b，自由端受垂直向下的均布力F作用，受拉側外緣到中性軸距離為h1，受壓側外緣到中性層距離為h2，如圖1所示。
圖1SMA懸臂樑力學模型
設整個相變過程中混合相的彈性模量不發生改變，簡化的本構模型如圖2所示。
圖2簡化本構模型
圖2中t表示拉伸;c表示壓縮;s表示相變開始;f表示相變結束;εL表示最大等效殘餘應變。在沿截面高度應變分佈是線性的假設下，設ρ為曲率半徑，受拉側表面應變εt與受壓側表面應變εc分別為εt=h1ρ，εc=h2ρ，(1)受拉側相變開始的臨界應變為εts=σtsEA，(2)受拉側相變結束的臨界應變為εtf=εL+σtfEM，(3)其中:EA為奧氏體彈性模量;EM為馬氏體彈性模量;εts和εtf分別表示受拉側相變開始和結束時臨界應變;σts和σtf分別表示受拉側相變開始和結束時臨界應力。
結合平衡方程與曲率方程可以解得懸臂樑自由端撓度w的方程為d2wdx2=-1+dwdxæèçöø÷2 3/2b∫εt-εcσεdεFl。(4)
2､相變過程
對於懸臂樑在固定端有最大應力，整個彎曲變形過程中截面受拉側表層應變始終處於最大值，因此相變也先會從固定端附近受拉側表層開始。為方便說明選取固定端截面為研究物件，得出的結論適用於所有截面。
考慮到在彎曲過程中受拉側和受壓側的相變過程是非對稱的，特引入拉壓不對稱係數[10]為α=σcs-σtsσcs+σts=σcf-σtfσcf+σtf，(5)其中:σcs和σcf分別表示受壓側相變開始和結束時臨界應力。
2.1 彈性階段(εt<εts)
固定端受拉側表層應變未達到相變臨界應變，整個梁均未發生相變，材料全部處於奧氏體相，中性層也未發生變化，此時截面上應力分佈為σ(y)=EAyεth，-h≤y≤h(6)
2.2 相變階段(εt>εts)
隨著載荷增大，固定端受拉側表層應變εt達到發生相變的臨界應變εts，此時εc≤εcs，εts≤εt≤εtf，受拉側開始出現混合相，同時與奧氏體相之間形成相邊界TA。受壓側未達到相變開始的臨界應變，仍處於奧氏體相，見圖3(a)，相變進入第Ⅰ階段。繼續載入使固定端受壓側表層應變εc達到相變開始的臨界應變εcs，此時εcs≤εc≤εcf，εts≤εt≤εtf，受壓測開始出現混合相，與奧氏體相之間形成相邊界CA。受拉側未達到相變結束臨界應變，仍處於混合相，見圖3(b)，相變進入第Ⅱ階段。載荷繼續增大，固定端受拉側表層應變εt達到相變圖3相變第Ⅰ~Ⅳ階段固定端截面相邊界示意圖形狀記憶合金懸臂樑變形特性分析結束的臨界應變εtf，此時εcs≤εc≤εcf，εtf≤εt，開始出現馬氏體相，與混合相之間形成相邊界TM。受壓側未達到相變結束臨界應變，仍處於混合相，見圖3(c)，相變進入第Ⅲ部分。載入至εcf≤εc，εtf≤εt，固定端受壓側表層應變εc達到相變結束的臨界應變εcf，開始出現馬氏體相，與混合相之間形成相邊界CM，見圖3(d)，相變進入第Ⅳ階段。其中A､B､C､D､E､F處的座標分別為yA=(1+Δi)h､yE=εtf(1+Δi)h/εt､yC=εts(1+Δi)h/εt､yD=-εcs(1+Δi)h/εt､yF=-εcf(1+Δi)h/εt､yB=-(1-Δi)h，i對應相變階段分別為Ⅰ､Ⅱ､Ⅲ､Ⅳ。整個相變過程中的固定端截面應力分佈為σ=-σcf+EMyεt(1+Δi)h+εcf，yB≤y≤yF(a)-σcs+E1yεt(1+Δi)h+εcs，yF≤y≤yD(b)yEAεt(1+Δi)h，yD≤y≤yC(c)σts+E1yεt(1+Δi)h-εts，yC≤y≤yE(d)σtf+EMyεt(1+Δi)h-εtf，yE≤y≤yA(e)7)其中:(c)､(d)對應相變第Ⅰ階段;(b)~(d)對應相變第Ⅱ階段;(b)~(e)對應相變第Ⅲ階段;(a)~(e)對應相變第Ⅳ階段。
3､例項計算與分析
設懸臂樑長度l=200mm，高度2h=20mm，寬度b=10mm，自由端受豎直向下的力F作用，如圖4所示。計算引數由實驗測得彈性模量EA=67×103MPa，EM=26.3×103MPa，E1=875MPa，受拉側相變開始應力σts=432.8MPa，結束應力σtf=502.8MPa，最大等效殘餘應變εL=0.067[11]。
圖3相變第Ⅰ~Ⅳ階段固定端截面相邊界示意圖；圖4SMA懸臂樑示意圖
3.1 中性層位移
F=3kN時不同拉壓不對稱係數下樑軸向中性層位移分佈見圖5。從圖5中可以發現當α=0時，無論變形處於何種階段，中性軸始終與梁截面中位線重合不發生變化。但隨著拉壓不對稱係數的增大，中性層位移的最大位移也隨之增大，在相變的第3階段達到最大值隨後開始減小。當載荷一定時，拉壓不對稱係數越大，最大值越靠近固定端。α=0.05時不同載荷下中性層位移軸向分佈情況見圖6。從圖6中可以發現中性層位移的最大值與載荷無關，隨著載荷增大，中性層位移最大值逐漸向自由端移動。
圖5F=3kN中性層位移分佈;圖6α=0.05時中性層位移分佈
3.2 曲率
F=3kN時不同拉壓不對稱係數下樑軸向曲41率見圖7。圖7中的曲線可大致分為2部分，線性部分與非線性部分。設x1處為拉表面相變開始臨界截面時，自由端到x1處皆為奧氏體相，彈性模量一定所以曲率為線性。超過x1後開始發生相變，產生混合相，由於混合相的彈性模量較小，故曲率急劇上升。設x2處為拉表面相變結束臨界截面時，則x2到固定端存在馬氏體相，馬氏體相的彈性模量大於混合相，故曲率增速減緩。α=0.05時軸向曲率分佈見圖8。從圖8中可知固定端曲率先急劇增大再緩慢增大，斜率最大的截面逐漸向自由端移動。
圖7F=3kN曲率分佈;圖8α=0.05曲率分佈
當α=0時，可退化為文獻[6]中的拉壓對稱模型，採用與文獻[6]中一致的資料所得載荷與曲率的關係如圖9所示，結果與文獻[6]中完全一致。進一步證明了結論的可靠性。
3.3 撓度
不同拉壓不對稱係數下載荷與自由端撓度的關圖9α=0載荷與曲率關係系見圖10。當載荷較小時，整個梁未到達相變臨界應變，處於奧氏體相階段，撓度增速較小。隨著載荷增大，固定端附近受拉側首先發生相變，由於混合相彈性模量較小使得梁整體剛度減小，自由端撓度迅速增大，當載荷增大到使固定端附近應變超過相變結束臨界應變後，拉表面附近率先轉變為馬氏體相，彈性模量增大，梁整體剛度增大，撓度增速減小。拉壓不對稱係數越大，在載荷相同時自由端撓度越小。
圖９α＝０載荷與曲率關係；圖10載荷與自由端撓度關係
3.4 相邊界
F=3kN時梁軸向相邊界分佈見圖11。當α=0時，在相變的整個過程中，相邊界均為對稱。隨著拉壓不對稱係數增大，受拉側起始相變位置幾乎沒有變化，而在受壓側有很明顯的變化，拉壓不對稱係數越大，受壓側混合相邊界和馬氏體相邊界出現的位置越靠近固定端，在固定端附近受壓側混合相佔比越大，受壓側混合相佔比越小。α=0.05時形狀記憶合金懸臂樑變形特性分析軸向相邊界分佈見圖12。隨著載荷增大，相邊界整體向自由端移動，奧氏體相佔比減少，但梁中性層附近始終有奧氏體相存在且受載荷的影響較小。
圖11F=3kN相邊界分佈;圖12α=0.05相邊界分佈5
4､結論
(1)在彎曲過程中，中性層先向受壓側移動，達到最大值後再向受拉側移動。拉壓不對稱係數越大，中性層的最大位移越大，位移的增長速率越快，相同載荷下所達到的曲率越小，在軸向上中性軸最大位移截面距離梁中點處越近。
(2)整個梁的曲率可以分為線性和非線性2部分。在非線性部分拉壓不對稱係數越大麴率越小且增速最大的截面越靠近固定端。
(3)在未達到相變開始臨界應變時，載荷對自由端撓度增速影響較小。拉壓不對稱係數越大，撓度增長速率也越小，相同載荷下所達到的最大撓度越小。
(4)當拉壓不對稱係數為0時，相邊界始終關於梁中面對稱。拉壓不對稱係數越大，對於受壓側相邊界影響越大，受壓側相變開始和結束截面距離固定端越近，混合相在受壓側佔比越大。隨著載荷增大，相邊界整體向自由端移動。
