英國數學家戈弗雷·哈羅德·哈代(G.H. Hardy)有一句名言："...比起其他藝術或者科學，數學更像一個年輕人的遊戲。”這裡，他對"年輕人"的理解有多正確呢？
誠然，證明一個數學定理需要大量的創造力、重新認識問題的能力，還要用其他人沒有想到的方式來進行思考。
但，它也需要大量的經驗和知識儲備。畢竟，如果不理解一個問題，你也就無法證明它。很多未經證實的猜想都建立在一座概念堆積的山峰之上，登頂往往需要數年。
基於維基百科，我列出了1501~2015年數學發展的時間線，追溯了250 件數學領域的大事：定理的新證明、重要工作的釋出，或者核心數學概念的萌芽。
以下是其中的一些事件：
1540年，18 歲的洛多維科·費拉里(Lodovico Ferrari)解出了四次方程。
1799年，22歲的卡爾·弗里德里希·高斯 (Carl Friedrich Gauss)證明了代數的基本定理（每個多項式方程在複數中都有一個解）。
1925年，24歲的維爾納·海森堡(Werner Heisenberg)和約爾當(Jordan)、 玻恩(Born)建立了量子力學的矩陣表示。
2004年，29 歲的陶哲軒(Terence Tao)和本·格林 (Ben Green)證明了格林-陶定理(Green–Tao theorem)。
1522年，30 歲的亞當·里斯(Adam Ries) 解釋了阿拉伯數字的使用及其相對於羅馬數字的優勢。
2003年，37 歲的格里高利·佩雷爾曼(Grigori Perelman)證明了龐加萊猜想。
2003年，41 歲的安德魯·懷爾斯(Andrew Wiles)證明了谷山志村猜想的一部分，從而證明了費馬大定理。
1929年，47 歲的艾米·諾特(Emmy Noether)首次引入了群和代數的通用的表示理論。
2013年，58 歲的張益唐證明了存在無窮多對間隙為有限的質數。
1618年，68 歲的約翰·納皮爾 (John Napier) 在一部關於對數的著作中首次提到了自然對數的底數e。
作者繪製
偉大數學家們的年齡
資料彙總：
Ø 他們的平均年齡為 37 歲；
Ø 年齡的中位數略低，為 35 歲；
Ø 數學大事記中 25 % 的數學家們在他們 30 歲以下做出了重要的數學成果；
Ø 42 %的數學家在30-39 歲之間做出了重要的成果；
Ø 33 %的數學家在40 歲或者以上做出了重要的成果；
Ø 其中最小的年齡是18 歲，1540年洛多維科·費拉里(Lodovico Ferrari)推匯出了四次方程的一般解；
Ø 最大的是73 歲，1825年阿德里安-馬裡·勒讓德(Adrien-Marie Legendre)和約翰·彼得·古斯塔夫·勒熱納·狄利克雷(Peter Gustav Lejeune Dirichlet)一起證明了對於 n=5 情況下的費馬大定理。
從20 歲到70 歲
我做了一個互動式的圖表《偉大的數學家時代》，讀者可以點選這裡或下圖來獲取詳細的資訊（使用滑塊來調查各個年齡段的數學家們的成就）。其中有一些亮點值得注意：
在20 歲到29 歲之間
1832年，法國數學家埃瓦里斯特·伽羅瓦(Évariste Galois)在他21 歲時提出了代數方程可解性的一般條件，因此基本建立了群論和伽羅瓦理論，他也是第一個使用“群”這一個數學術語來表示一組置換的人，與尼爾斯·阿貝爾並稱為現代群論的創始人。但充滿悲劇和傳奇色彩的是，在他提出這些理論不久，就在一場決鬥中被殺。
1913年，年僅26 歲的印度數學家斯里尼瓦瑟·拉馬努金(Srinivasa Ramanujan)給哈代寫了一封信，信上是一長串沒有證明的定理，在信裡，拉馬努金同時懇請哈代幫他擺脫貧困的現狀。當然，拉馬努金在信中的發現一定早於他26 歲之前。
在30 歲到39 歲之間
2008年，伊朗德黑蘭數學家瑪麗安·米爾札哈尼在她31 歲時證明了一個長期以來沒有解決的猜想：威廉·瑟斯頓(William Thurston)提出，泰希米勒空間(Teichmüller)上的地震流(Earthquake map flow)都是遍歷系統。六年後，她被授予菲爾茲獎，以表彰她"對黎曼曲面及其模空間下的動力學和幾何學的傑出貢獻"。2017年7月14日，米爾札哈尼因乳腺癌去世，終年40 歲。
1837年，32 歲的德國數學家約翰·彼得·古斯塔夫·勒熱納·狄利克雷(Gustav Lejeune Dirichlet)在一篇關於給定算術級數中存在素數的論文中發展瞭解析數論。這是狄利克雷在數學時間線上的第四個工作，前三件工作分別在他20 歲，27 歲和32 歲時發生。
1915年。36 歲的理論物理學家阿爾伯特·愛因斯發表了他的廣義相對論，十年前，他的狹義相對論發表，當時他還是瑞士專利局的職員。
在40 歲到49 歲之間
1993年，在秘密研究費馬大定理幾年之後，40歲的安德魯·懷爾斯(Andrew Wiles)宣佈證明了費馬大定理。眾所周知，在審查的過程中，該證明中存在錯誤，但在次年，該錯誤被糾正。懷爾斯在46歲時擴充套件了他的工作，完成了谷山志村(Taniyama Shimura)全部的猜想。
1918年，41歲的戈弗雷·哈羅德·哈代(G.H. Hardy)和斯里尼瓦瑟·拉馬努金(Srinivasa Ramanujan)一起為分割函式開發了一個漸近公式。也許他與年輕的創意天才拉馬努金的合作是他哀嘆數學是"年輕人的遊戲"的原因之一。
50 歲以上
2013年，美籍華裔數學家張益唐首次證明了存在無窮多對間隙為有限的質數，從而在孿生素數猜想這一數論難題上取得質的突破。1991年張益唐獲得博士學位之後未拿到導師的推薦信，學術道路坎坷，有段時間靠打雜來餬口過日，曾經做過幾年會計師，在地鐵的快餐店打過工。（來源）
1722年，法國數學家亞伯拉罕·棣莫弗(Abraham de Moivre)將複數和三角學聯絡起來，提出了棣莫弗公式；66 歲時，引入了正態分佈來近似二項分佈。
關於這位年邁的數學家，有一則幽默軼事：
人們常說，一直對數列感興趣的棣莫弗曾經預言，他每天需要比前一天多睡15 分鐘，當睡眠總數達到24 小時的時候，他就會死亡，這個時間是1754年11月27日，這也正是他死亡的時間。（來源）
資料和方法
大部分資料是從維基百科上的數學時間線獲得的，從"現代"(16世紀)開始。如果能從古希臘時代的阿基米德(Archimedes)和希帕蒂婭(Hypatia)開始，那就太好了，但歷史記錄不夠精確，所以這裡從“現代”開始。
我還用其他一些著名的結果擴充了維基百科時間軸上提供的資料，例如愛因斯坦，玻爾和海森堡等數學物理學家的工作。
令人驚訝的是，最近數學界的一些的大事件也存在一些資料收集問題。我想包括黃浩（Hao Huang，音譯）2019年對布林函式的靈敏度猜想的證明，但我找不到他的出生日期。從他的教育經歷推斷，他可能已經30多歲了。
同樣，我想把瓊·泰勒(Joan Taylor)包括在內，她是一位業餘數學家，與約書亞·索科拉爾(Joshua Socolar)一起發現了索科拉爾-泰勒(Socolar-Taylor)瓷磚拼貼，解決了羅傑·彭羅斯(Roger Penrose)提出的問題。但我找不到她的出生日期，但在她的網站上，她說她從1990年開始思考這個問題，比2011年發表的結果早了20年。
最後的思考
從統計資料來看，雖然大多數令人矚目的成就是數學家們在20至40歲之間取得的，但這個年齡範圍仍然很廣。隨著年齡的增大，數學家們傾向於書籍和概要型別的成果，當然，仍然有一些老數學家們做出的突破性創新證明的例子。
每個數學家的故事都是不同的。這其中，有英年早逝的神童，有覆蓋各個領域的多產博學者，還有堅持鑽研一個問題20年的人。
對於我們這些業餘數學愛好者來說，我們也許並不想改變世界，而只是樂於瞭解它，知道我們的大腦一直在思考，可以繼續享受數學帶來的快樂，這一點就足以令人開心了。
作者：Afiq Hatta
翻譯：Nuor
審校：xux
