1.合數即因數不只1和本身的數。設為a，兩數b與c關於模m同餘，即（b-c）/m=整數k，m可寫作de兩整數相乘，（b-c）/d或e的結果都是整數。
2.某些數對於同一個模m同餘，那麼彼此互為剩餘。
3.同餘的數有相同的最小剩餘，不同餘的數最小剩餘不同。
4.A與a關於m同餘，B與b關於m同餘，則（A-a)/m=k，（B-b)/m=n，合併得(A+B-a-b)/m=k+n，可知A+B與a+b關於m同餘，類似可推出C與c關於m同餘……，可知A+B+C+D+……與a+b+c+d……關於m同餘，加號變為負號同樣成立，只要把數作為負數處理即可。
5.A與a關於m同餘，（A-a）/m=k，A與a同時擴大n倍，則n（A-a）/m=nk，nA與na關於m同餘。
6.A與a關於m同餘，B與b關於m同餘，從定理5可知，AB與Ab關於m同餘，Ab與ab關於m同餘，則AB與ab關於m同餘。類似ABCD……與abcd……關於m同餘。
7.從6可以推出，A的n次冪與a的n次冪關於m同餘。
8.x為不定數，設x取f（定值），f與g關於m同餘，則f的a次冪與g的a次冪關於m同餘，f的a次冪擴大A倍與g的a次冪擴大A倍關於m同餘，同理f的b次冪擴大B倍與g的b次冪擴大B倍關於m同餘……，可推出A倍f的a次冪+B倍f的b次冪+……與A倍g的a次冪+B倍g的b次冪+……關於m同餘，A倍ⅹ的a次冪+B倍ⅹ的b次冪+……與A倍y的a次冪+B倍y的b次冪+……關於m同餘。
9.用X代替上式ⅹ多項式，ⅹ取連續整數，ⅹ的每個值可關於模m有最小剩餘，ⅹ的取值不同，多項式不同，其最小剩餘不同，最小剩餘在0到m的範圍內取，連續的不同ⅹ值，對應不同的最小剩餘，m次後取儘可取的數，再取就會重複，所以m為週期重複。
10.X的關於ⅹ的多項式，所對應的最小剩餘，若未包括0到m範圍內的所有整數，如ⅹ的立方-8ⅹ+6關於模5對0與2不同餘，則ⅹ的立方-8ⅹ+6=0與ⅹ的立方-8ⅹ+4=0無整數解或有理數解。假設ⅹ的立方-8ⅹ+6=0有整數解，則（ⅹ的立方-8ⅹ+6)/5=0，推出ⅹ的立方-8ⅹ+6與0關於模5同餘，與已知矛盾，所以假設不成立。若是有理數解b/a，則方程兩邊同時乘以a的立方，可將方程化為整數方程，可推出該方程中的多項式與0關於模5同餘，而實際情況下，該多項式不能整除5（該多項式為b的立方-8乘a的平方乘b+6乘a的立方，若a=b，ⅹ為整數不用討論。若a≠b，再分兩種情況討論，都不是5倍數或其中一個是5的倍數，這時不能整除5，若a與b都是5的倍數，因a≠b，可以消除公倍數5直到b/a最簡，則代入Ⅹ中，得到的多項式不能整除5。其他型別ⅹ多項式同理)，也就不可能與0關於5同餘。
