純粹數學家一直遊走在人類未知世界的邊緣，終生挑戰人類智力的極限。他們都是無所畏懼，一往無前的勇者；為了真理和永恆，敢於拋棄一切的壯士。為了突破思想智力上的障礙，跳脫傳統偏見的束縛，他們大多淡泊名利、特立獨行，在世俗世界中顯得恃才放曠，桀驁不馴，因此經常被現實傷害得體無完膚。下面要介紹的幾位數學家便是這樣，他們坎坷短暫的一生卻能綻放出熠熠光輝。
（一）
人類在長達數千年的歷史中，一直試圖尋找高階多項式方程的求根公式。
無數數學家為此耗盡終生，而一無所獲。直到兩位天才的降臨，才加速了人類這場智力的接力。這兩位便是阿貝爾與伽羅瓦。然而瞭解了他們的經歷，你才知道什麼叫天妒英才，他們可以說是數學史上最讓人惋惜的兩顆璀璨流星。
阿貝爾（1802-1829）出生在挪威南部一個基督教牧師家庭，家境貧苦，短暫的一生充滿不幸與坎坷。
1824年，阿貝爾證明了，五次或五次以上的代數方程沒有一般的求根公式，該證明寫進了“論代數方程——證明一般五次方程的不可解性”的著名論文中，從而終結了人們公式求解一般高次代數方程的企圖。這麼難的問題竟然被一個無名小卒解決了，這簡直是天方夜譚，結果沒有一家雜誌願意發表阿貝爾的論文。但是，阿貝爾本人深知其論文的價值，別無選擇，只有自費出版。為了節約資金，他把論文壓縮成6頁，1824年以小冊子的形式出版。也許由於他的論文過於簡略，以至有許多人難以看懂。阿貝爾把小冊子寄給包括高斯在內的許多大數學家，可是一直沒有得到這些數學大師的反應。後來得知，“數學王子”高斯看了論文的題目，覺得用如此寥寥幾頁就解決了這個世界難題，令人難以置信，並說：“太可怕了，竟然寫出這種東西來！”連正文都沒看就把論文扔到了書堆裡，這一系列冷遇極大地傷害了阿貝爾。
1825年，阿貝爾大學畢業了，可是社會卻沒有給這位年輕的天才數學家提供用武之地，他決定申請經費出國繼續深造和謀求職位。同年夏天，阿貝爾到達德國柏林，在那裡他認識了一位工程師出身的數學愛好者克雷爾。兩人結為好友，在阿貝爾的建議及朋友的贊助下，克雷爾在1826年創辦了著名的《純粹與應用數學雜誌》，簡稱《克雷爾雜誌》（該雜誌一直出版到現在，是歷史最悠久的雜誌之一）它的第一卷刊登了7篇阿貝爾的文章，其中一篇就是有關一般五次方程不能公式求解那篇。此後，又陸續刊登了阿貝爾的許多論文，這時才開始有人注意阿貝爾。反過來，阿貝爾出色的論文後來也為《克雷爾雜誌》贏得了永恆的聲譽。次年，阿貝爾從柏林來到巴黎，在那裡他結識了當時法國最有名的數學家勒讓德以及柯西等人。他寫了一篇論文提交給法國科學院，但仍未獲重視。直到阿貝爾去世後，那篇論文才於1841年被髮表出來。失望的阿貝爾又重返柏林，雪上加霜的是，他在那裡染上了致命的肺結核病。幸運的是，好友克雷爾幫助了他，請他擔任克雷爾雜誌的編輯，同時還為他謀求教授職位而奔波，可最終也沒為他求得職位。
1827年5月，心灰意冷、經濟拮据的阿貝爾回到了奧斯陸，而國內的境況也並沒好轉，找到職位的希望仍然渺茫。他不得不靠做家庭教師維持生計，即使在這種飢寒交迫，貧病夾擊的逆境中，阿貝爾仍然堅持研究，取得了許多重大成果。1828年，四位法國科學院院士曾經聯名上書挪威國王，請他為這位天才安排一個合適的職位。又過了一年，滿懷著強烈的求生慾望，滿懷著繼續為科學事業做貢獻的偉大理想，阿貝爾在病魔侵襲的淒涼中，在懷才不遇的抑鬱中與世長辭，年僅27歲。就在他去世兩天後，克雷爾來信告知，柏林大學已經認識到他的才華並任命他為數學教授，只可惜好訊息來得太遲了。
阿貝爾證明了一般的五次或五次以上的方程不能公式求解，但是這並不妨礙人們去尋找能夠公式求解的特殊方程。事實上，阿貝爾本人已經深入研究了這個問題，並發現了一些能公式求解的特殊方程，這樣的方程稱為阿貝爾方程。於是就產生了這樣的問題：到底應該用什麼標準來判斷一個代數方程能不能用公式求解？這個問題阿貝爾未及完全解決就去世了。不久，另外一個人肩負起了阿貝爾未完的事業，這個人就是法國年輕的數學家伽羅瓦。他完成了阿貝爾未能完成的歷史使命，併成為一門新學科——群論的開山祖師。
（二）
伽羅瓦，衝破了人類思想的極限，發展了群論的思想，洞察到高次方程求根公式的存在性與對稱群的可解性之間的等價關係，從而不但解決了這個千古難題，同時用群論的思想將數學推進到現代階段。
群論研究名為群的代數結構。群在抽象代數中具有重要地位：許多代數結構，包括環、域和模等可以看作是在群的基礎上新增新的運算和公理而形成的。
伽羅瓦（1811—1832）出生於巴黎近郊的一個小村莊裡，他自幼聰穎好學，思維敏捷，逐漸顯露出驚人的數學天賦。
1828年，伽羅瓦由於過分投入到數學而忽略了其他學科，導致他首次報考巴黎綜合工科學校失敗。同年，伽羅瓦從初級數學班升到裡查德的數學專業班。裡查德是一位年富力強，才華橫溢的教授，並且是一位善於發現千里馬的伯樂。他發現伽羅瓦是一個極具數學天賦，只宜在數學的尖端領域中工作的人。
從這一年起，年僅17歲的伽羅瓦在裡查德的指導下，開始著手關於方程理論的研究。此後，他引進了“群”的概念，獲得了現在稱為伽羅瓦理論的許多重要結果，五次和五次以上代數方程公式可解性的判別準則終於宣告徹底解決，阿貝爾遺留下來的問題迎刃而解。伽羅瓦在研究之初，也犯了與阿貝爾多年前所犯的同樣錯誤，以為自己解出了一般的五次方程，好在很快懸崖勒馬，並重新研究方程理論，直到用群論闡明這個具有普遍性的問題。
1829年，伽羅瓦先後把兩篇關於群的初步理論的論文呈送給法國科學院，科學院請柯西做論文的主審，由於伽羅瓦的論文新概念較多而且過於簡略，因此柯西建議他做一些修改。第二年，伽羅瓦把修改過的論文重新提交科學院，不巧的是，這時柯西出國未歸。於是科學院決定由傅立葉負責主審，傅立葉將論文拿到家裡，不久就謝世了，伽羅瓦的論文也不翼而飛。兩次挫折令伽羅瓦義慣填鷹，他寫信質問科學院的權威們：“第一因為我叫伽羅瓦，第二因為我是大學生…而預先就斷定我對這個問題無能為力.”鑑於伽羅瓦對科學院的不滿，科學院請他把論文再寫一份。
1831年，伽羅瓦第三次將論文呈交科學院，這次是熱心的泊松和拉克魯瓦審查了這篇命運多舛的論文，經過半年之久的仔細審查，兩人仍然是莫名其妙，得出了“完全無法理解”的結論。他們在給科學院的報告中寫道：“我們已經盡了最大努力來研究伽羅瓦的證明，他的推理顯得不很清楚，迄今為止，因為我們尚未找到有說服力的證據，無法對它作出正確評價。因此，在本報告中我們甚至不能給出他的證明思想。” 這篇具有創新和超時代思想的不朽論文就這樣被打入了冷宮。
好在伽羅瓦於1830年在著名的數學雜誌《數學科學通報》上先後兩次發表了三篇論文，其中第一篇論文題目為“關於方程代數解法論文的分析”，柯西和泊松也在這個雜誌發表論文，這說明伽羅瓦在數學界已經贏得聲譽。
1829年，伽羅瓦再次參加巴黎綜合工科學校的入學考試，由於他拒絕採用主考官建議的解題方法，結果仍是名落孫山。無奈之下，他只好報考了高等師範學院，並在10月被錄取，正當年輕的伽羅瓦有機會大展宏圖做出卓越貢獻的時候，法國曆史上有名的“七月革命”（1830年）爆發了，轟轟烈烈的革命狂潮激發了伽羅瓦這個勇敢追求真理的共和主義戰士的鬥志，他反對學校的苛刻校規，批評校長在“七月革命”期間的兩面派行為，為此，伽羅瓦惹惱了學校當局，最後被開除學籍。但是，伽羅瓦並沒有退縮，他繼續投身政治活動。
1831年7月14日，伽羅瓦因率眾上街遊行示威而被捕。在監獄中，伽羅瓦仍然頑強地進行數學研究，一面修改他關於方程論的論文及其他數學工作，一面為將要出版的著作撰寫序言。
伽羅瓦在此時遇上他一生最愛的女人，那是一個醫生的女兒。伽羅瓦沒想到的是，她居然有未婚夫，而她的未婚夫是一位和他一起入獄的軍官。同伽羅瓦一樣，這位軍官也是一位激進的共和黨人。伽羅瓦和對方爭執，還主動提出要以決鬥定勝負。等到伽羅瓦情緒平復的時候，才發現自己毫無勝算，怎麼會和一個玩槍的行家決鬥？桀驁的他來不及後悔，決定欣然赴約。
他在決鬥前夜奮筆疾書，總結他的學術思想，整理、概述他的數學工作，寫信委託他的共和主義者朋友替他儲存。在信的開頭他寫道：“我在解析學中，創造出了許多新成果……我想把這些沒有解決的問題全部解決，展現在人們面前……，他還不斷在紙的空白處寫上“我沒有時間”。第二天他果然在決鬥中不幸離世，年僅21歲。
他的朋友俠肝義膽，雖然不理解伽羅瓦的思想，但是不懈奔走數十年，終於將手稿交給了獨具慧眼的劉維爾，從而讓伽羅瓦的光輝思想昭示天下。1870年，法國數學家若爾當更是出版了《置換論》一書，全面介紹了伽羅瓦的理論。從此，群論和伽羅瓦的全部工作終於像金子一樣大放異彩，真正被歸入數學的主流。
（三）
費馬大定理證明的核心思想，來自谷山豐（1927—1958），而谷山更是一個悲劇英雄。
1954年，谷山和志村相遇了，他們都從東京大學數學系本科畢業，分別在東京大學不同的院系擔任助教與講師。那時，日本最優秀的數學家都去了美國，留下來的資深教授的知識比較陳舊，無法指導谷山和志村這樣渴望衝到學術最前沿的年輕教師。在這種情況下，年輕教師渴望學習最新的知識，只有靠自學，或者自己辦討論班。他們與一些志同道合的年輕人組織了一個數學討論班，一起學習數學。因為當時日本和西方的隔離，這些年輕人在討論班上時常討論一些在歐美已經過時的課題。有一個特別冷僻的題目讓谷山和志村非常著迷，那就是模形式。
模形式，大致來說就是一個函式，當這個函式的自變數被一個變換矩陣作用後，這個函式會發生改變，但這個改變具有很簡單的性質——新函式是舊函式乘上剛才那個變換矩陣的n次方。
谷山豐首先在模形式上做了一些研究工作，發現一些模形式與某些橢圓曲線之間存在一些朦朦朧朧的相似性，這兩個來自不同數學領域的概念似乎存在同一套“數學基因”。1955年9月，國際數學大會在東京召開，時年28歲的谷山豐向大會提交了一份報告，他在報告中提出，模形式和橢圓曲線方程之間存在一種奇怪的聯絡。
所謂的橢圓曲線並不是橢圓，而是指那些滿足形如
（或其等價形式）的曲線。對於某些特定的橢圓曲線，如果我們把它看成是一個方程，在有限域求解這個方程，得到的解的個數記為m，隨後谷山豐研究了一個特定的模形式，將這個模形式的傅立葉展開係數記為n。谷山豐發現，m和n相加是一個素數。
不過，由於谷山豐發現的聯絡很模糊，而且缺乏完整的數學證明，再加上他只有本科學歷、並不是成名的數學家，所以在當時，這個想法並沒有受到重視。心灰意冷的谷山豐選擇了結束自己的生命，而去世時他只有31歲。一週後，傷心欲絕的未婚妻鈴木也自殺追他而去。
幸運的是，谷山豐的好友志村不負朋友重託，終於提出“谷山志村猜想”（所有的橢圓曲線都是模形式），使得谷山的思想聞名於世。而後懷爾斯證明了谷山猜測的一部分，從而完成了費馬大定理的證明。
時代的發展總是出乎人們最為狂野的想象。數十年後，一個自稱中本聰的神秘人物發表文章，論述了構建比特幣的思想。中本聰正是採用基於橢圓曲線的加密演算法，使比特幣有了理論和應用基礎，此後比特幣風靡全球。
（四）
1887年12月22日，拉馬努金(1887—1920)出生於印度泰米爾納德邦埃羅德縣的一個沒落的婆羅門家庭。他15歲時，朋友借給他英國數學家卡爾寫的《純粹數學與應用數學概要》一書。該書收錄了代數、微積分、三角學和解析幾何的五千多個方程，但書中沒有給出詳細的證明。這正好符合拉馬努金的胃口，他把每一個方程式當成一個研究題，嘗試對其進行獨特的證明而且還對其中一些進行推廣。這花去了他大約5年的時間，留下了幾百頁的數學筆記。他證明了其中的一些方程，他以後的研究受益於這本書。
拉馬努金高中畢業時各項成績突出，被校長形容為“用滿分也不足以說明他如此出色”。進入當地著名的貢伯戈納姆學院後，他把全部精力投入數學研究，導致其他科目不及格，他不僅失去了獎學金，而且被學校開除。1905年，18歲的他為此離家出走3個月。一年後，拉馬努金被馬德拉斯的帕凱亞帕學院錄取。但這個數學成績優異的學生，還是難以逃脫被開除的命運，他的5門文科課程兩次不及格。此後拉馬努金開始做家教維持生計，同時從圖書館借來數學書，然後把自己的研究結論寫在筆記本里。
1911年，拉馬努金的第一篇論文“關於伯努利數的一些性質”發表在《印度數學會會刊》上，從此他開始了與數學界同行的正式交流。拉馬努金在他的第二篇論文裡發表了一系列共14條關於圓周率π的計算公式；神奇的是，其中一條公式每計算一項就可以得到8位的十進位制精度。
由於印度當時的數學水平不高，國內幾乎沒有人能看懂拉馬努金的研究成果。於是，好友艾亞爾極力主張他把研究成果寄給英國數學家，最初的兩個數學家都未迴音。1913年1月16日，他再次鼓起勇氣寫信給第三個數學家——劍橋大學教授哈代；信是這樣開頭的，“尊敬的先生，謹自我介紹如下：我是馬德拉斯港務信託處的一個職員……我未能按常規唸完大學的正規課程，但我在開闢自己的路……本地的數學家說我的結果是‘驚人的’……如果您認為這些內容是有價值的話，請您發表它們……”他還給哈代寄去了一大堆自己研究得出的數學公式和命題；由於沒有證明的過程，有些連哈代也不大明白。哈代在諮詢了另一個英國數學家、他的合作伙伴李特爾伍德之後，認定拉馬努金是一個難得的數學天才。拉馬努金多少有些運氣，哈代的慧眼識金，使得拉馬努金能夠在1914年進入劍橋大學。這則動人故事如今已成為數學史乃至科學史上的傳奇故事之一，同時作為兩個人學術生涯的轉折點——拉馬努金因哈代而嶄露頭角，哈代因拉馬努金而增光溢彩。
按哈代的說法，拉馬努金總是和藹可親，性情很好。但可以肯定，拉馬努金初到劍橋時對哈代超出數學範圍的談話幾乎不懂。他聽哈代說話時似乎總帶著耐心的微笑，面容友善、真誠。但即使是談論數學，由於他們受教育程度不同，用詞及表述也就有差異。拉馬努金是自學的，他對現代學術意義上的嚴謹一無所知，在某種程度上他不知道什麼叫證明。於是哈代就向他演示如何寫出嚴謹的數學證明。哈代曾說：“如果拉馬努金受到了更好的教育，他將會比現在更出色。”拉馬努金是個有神論者，哈代則是個無神論者，但他們卻能為數學而進行合作研究；在5年裡，他們共同發表了28篇重要論文。哈代曾將這段經歷描述為“我一生中最浪漫的事件”。因為在數學上的卓越成就，拉馬努金31歲就當選為英國皇家學會的外籍會員（亞洲第一人）以及劍橋大學三一學院的院士（印度第一人），走到了他的榮譽最高峰。
1917年的一天，拉馬努金突然感到身上有無名的疼痛。後來才發現他患上了當時難以醫治的肺結核病。有一天哈代去醫院看他時，抱怨所乘的計程車牌號1729是個不吉利的數字；而拉馬努金的第一反應則是，這是個有趣的數字，因為這個整數可以寫成12的立方與1的立方之和，也可以寫成10的立方與9的立方之和。後來李特爾伍德回應這宗軼聞說：“每個整數都是拉馬努金的朋友。”
1920年4月26日，拉馬努金病逝於馬德拉斯，年僅32歲。他身後留下了一份使人著魔的、深奧的數學遺產，其中包含了大量沒有證明的公式和命題。許多數學家都致力於這方面的研究，一直到1997年，才總算是完成了其中的一部分，並整理成5大卷出版。
拉馬努金對數學有著很強的直覺洞察力，雖未受過嚴格數學訓練，卻能獨立發現近3900個數學公式和命題。他經常宣稱在夢中娜瑪卡爾女神給其啟示，早晨醒來就能寫下不少數學公式和命題。他所預見的數學命題，日後有許多得到了證實。比利時數學家德利涅於1973年證明了拉馬努金1916年提出的一個猜想，因此獲得了1978年的菲爾茲獎。
結語
從以上數學家的經歷中，我們也可以看出，對一些數學天才的認可不能僅憑他們的年齡和學歷及已經獲得的名譽。驚世的天才往往在他們還沒有名氣的時候就已經洞察天機，那些所謂的“獎項”甚至會因他們而增色。尤拉提出伽馬函式時只有16歲，高斯得出正十七邊形的尺規做法時只有19歲，上述幾位悲情的數學英雄更是隻有短暫的一生。致敬這些偉大的數學天才，致敬這些人類智慧賽道上的勇者！
