博雯 夢晨 發自 凹非寺
量子位 報道 | 公眾號 QbitAI
現在，AI不僅能參與數學研究，甚至還快人一步，開始幫助人類提出數學猜想了。
就在今天，這隻由DeepMind與頂級數學家合作研發的AI，登上了最新一期Nature封面。
有多頂級呢？這些數學家全部都來自牛津大學、悉尼大學，其中還不乏英國皇家學會史上最年輕的院士。
就是這位，曾在兩年內斬獲謝瓦萊獎、克雷研究獎等4項數學大獎的Geordie Williamson：
對於這項研究，DeepMind官方自稱其“首次證明了人工智慧可以走在純數學研究的前沿”。
為什麼這次的研究被Nature評價為「AI與人類合作」甚至是「AI指引人類直覺」，與「人類使用AI工具」有何不同？
首先我們要知道，證偽一個猜想相對簡單，只需要找出一個反例即可。
但從零開始提出一個全新猜想這種工作，AI還是首次參與進來。
猜想本身是推動數學發展的一大動力，世界近代三大數學難題都是猜想：費馬猜想、四色猜想和哥德巴赫猜想。
此前提出猜想主要靠少數科學家的洞察力和個人經驗積累，比如歷史上兩位天才，物理學家愛因斯坦和數學家拉馬努金。
但隨著科學不斷髮展，需要研究的問題複雜程度逐漸超出人類能力極限。
有的問題涉及的資料規模，是一個人一輩子也研究不完的。
有的研究物件複雜程度之高，甚至可以有幾千個維度，超出了一般人類大腦從直覺上可以理解的能力。
除此之外，這次研究也幫忙搞了搞數學領域記憶體在了40年的陳年老題，得到了不小進展。
參與這次研究的數學家之一，牛津大學的Marc Lackenby說：
我很震驚機器學習在直覺指引上的作用這麼大，也沒想到我過去先入為主的一些觀念被AI給顛覆了。
沒有參與這次研究的另一位數學家，以色列特拉維夫大學的Adam Zsolt Wagner也很羨慕：
如果沒有這個工具，我們數學工作者可能會花上數週至數月的時間，最終發現證明的公式或定理是錯誤的 。”
那麼，AI這次到底幫助數學家們解決了哪些問題？下面來一探究竟。
AI發現代數和幾何間的聯絡
第一個問題關於紐結理論（Knot Theory），是拓撲學的一個分支。
用數學語言來講，紐結是一個圓在三維實歐氏空間中的嵌入。
呃……還是看圖吧。
假設你有一根繩子，打上一個結。
再把兩端粘起來，這就是一個紐結 （Knot）了。
結可以多打幾個，比如這樣：
或者，這樣？
數學家倒是不關心紐結到底是用鞋帶還是麵包做的，他們最關心一件事：
一個複雜的紐結能不能被還原成簡單的紐結，如果能就說明這兩種紐結在拓撲上是等價的。
以此為依據給紐結分類，才能理解它們的性質，進一步與實際應用問題建立聯絡。
紐結理論在現實世界中，可以用來確定一個化學分子是否有手性，還有希望靠拓撲量子計算模型構建出量子計算機。
數學家們從幾何特徵和代數特徵兩個角度去研究紐結，分別定義了紐結的幾個屬性。
但問題難就難在紐結的種類太多，自19世紀以來人類已經收集了無數種，如果用上計算機自動生成，現在每天都能生成幾十億種。
普通人難以從海量資料中發現隱藏的模式，AI這次卻做到了。
AI的貢獻是發現了紐結的幾何特徵和代數特徵之間存在直接的關聯。
數學家由此發現提出猜想，再給出嚴格證明，為紐結問題研究開闢了新的方向。
40年難題終於有望得證
除了解決了扭結問題之外，另一個則與表示論 （Representation theory）相關。
表示論是數學中抽象代數的一支，表示的所有構件都不可約。
而這種不可約表示（Irreducible representations）的結構主要受Kazhdan-Lusztig（KL）多項式的影響。
組合不變性猜想（Combinatorial Invariance Conjecture）就是與KL多項式相關的一個重要猜想。
它指出，對稱群SN中兩個元素的KL多項式可以從它們的無標記Bruhat區間，即一個有向圖中計算出來：
△Bruhat區間及其KL多項式的例子
這一猜想已經存在了40年，卻只有部分進展。
兩位科學家將這個猜想作為初始假設，透過AI中的監督學習模型從Bruhat區間預測KL多項式。
透過計算與確定的歸因技術（Attribution Techniques）相關的代表性子圖，並分析這些圖與原始圖的邊緣分佈，他們發現了進一步的結構證據：
如下圖，KL多項式可以透過一個公式直接從超立方體和SN-1部分計算出來。
因此，科學家們提出猜想：
一個無標記的Bruhat區間的KL多項式可以用上述的方法，並透過任何超立方體分解（hypercube decomposition）進行計算。
雖然還沒有進行嚴格證明，但目前他們已能在300萬個測試例子上驗證這一方法。
如果驗證成立，那麼對稱群（Symmetric Group）的組合不變性猜想問題將得到解決。
AI引導數學家直覺
那麼整體來說，數學家們到底是怎麼與AI合作解決問題的？
或者說AI到底是如何幫助引導數學家的直覺的呢？
簡單來說，這篇論文中提出了一種框架，用來快速驗證對兩個量之間關係的猜想（直覺）是否值得繼續探索，如果是的話，則指導如何進一步研究。
△框架流程圖
具體的，先透過監督學習來驗證數學物件中的某一結構/模式的假設是存在的。
然後，再使用歸因技術來深入理解這些模式。
在這個過程中，AI能夠以人類無法比擬的規模輸出資料，並從資料中挑選出人類無法檢測到的模式。
這正是AI和人類合作與傳統的數學研究方法的不同。
其實，數學在很大程度上是一門對關係和模式進行研究的學科。
比如我們小學時就學過的勾股定理，如果將平面上的三角形擴充套件到八維空間中的900邊多面體，還能輕易找到a2+b2=c2的等價形式嗎？
答案是：數學家們可以找到，但他們能做的工作量有限。
因為一個人必須評估許多例子，然後才能確定觀察到的公式是普遍通用而非偶然。
當然，這篇論文也並不打算創造一個“通用的純數學助手”，而是讓AI去幫助數學家更有效地發現和識別數學中的新模式。
論文的作者之一，牛津大學的Juhász教授表示：
任何可以生成足夠大資料集的數學領域都可以使用這種方法，而生物、經濟學等領域也將從其中收益。
除了Nature論文外，研究人員還在Arxiv上釋出了數學角度解釋兩個研究的論文，將來會投到合適的數學期刊。
另外還為兩個問題提供了Colab程式碼，讓你體驗一下與AI合作搞科研是什麼感覺。
論文連結：
https://www.nature.com/articles/d41586-021-03593-1
https://arxiv.org/abs/2111.15323
https://arxiv.org/abs/2111.15161
Colab地址：
https://colab.research.google.com/github/deepmind/mathematics_conjectures/blob/main/knot_theory.ipynb
https://colab.research.google.com/github/deepmind/mathematics_conjectures/blob/main/representation_theory.ipynb
參考連結：
[1]https://deepmind.com/blog/article/exploring-the-beauty-of-pure-mathematics-in-novel-ways
[2]https://techcrunch.com/2021/12/01/ai-does-pure-mathematics-and-protein-hallucination/
[3]https://www.nature.com/articles/d41586-021-03593-1
— 完 —
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