摘要：利用開普勒定律和牛頓定律,對行星公轉週期、主星對行星的引力、行星自身重力、以及行星密度之間構建數學模型。透過對模型進行演算推導,得出公轉週期與星體密度之間具有高度相關性,並用例項加以證明。
關鍵詞： 公轉週期 勒夫數 天文學 開普勒定律 星體密度
根據牛頓萬有引力定理,行星與主星距離越近,引力越大。主星引力對行星的撕裂作用是不容小覷的,行星也依靠自身引力使其趨於球形。當主星對行星的引力過大的時候,行星將被撕裂。基於上述架設,我們構建以下數學模型進行行星撕裂臨界態分析。
假設一個行星胚胎的質量是m,其圍繞公轉的主星質量是M,公轉半徑為d,行星的半徑是r,假設它的近主星半球和遠主星半球被拉開,質量分別為m/2,架設行星胚胎為均質,半球的質心在離球心的3r/8處,於是我們可以列出式子,即主星對於兩個半球的引力差值應該等於兩個半球互相吸引的引力值,行星將處於撕裂臨界態。
對上式兩端進行簡化得出
當上述等式中,假設r<<d時,等式左邊可近似為
再次簡化得出
此時假設行星胚胎的密度為ρ,上式可得
我們認為主星的質量M與π在一個星系中屬於常數,因此d與ρ成負相關。即若想保證行星不被主星引力撕裂,則有下式
或者----式1
上述函式關係的初步建立,我們推斷可以透過已知行星與主星之間的距離,來推斷該行星的密度最小密度。
採用太陽系內八大行星的例項驗證上式。採用距離太陽最近的且密度大小排名僅次於地球的水星驗證。水星與太陽的距離為57910000000m,太陽質量為1.989×1030kg,水星密度為5400kg/m3。則有不等式左邊為57910000000m,右邊為333568841m,左邊>右邊,不等式成立。
採用距離太陽系密度最小的土星驗證。土星與太陽距離為1429400000000m,土星密度為700kg/m3。則有不等式右邊為659099096m,不等式仍然成立。
上述就是粗糙版的洛希極限公式,適合簡單測算純均質行星與主星之間的撕裂距離或推算均質行星的密度。
但現實中並沒有絕對均質的星球,因為星球受到自身引力的影響基本上是自外向內密度逐漸增大,或在星球表面有冷卻的硬質地殼,而內部是流質。因此我們需要建立一個調整式對其進行簡單調整。我們可以引入一個描述星球核心大小(即該星球是剛體或非剛體)的與勒夫數k2有關的調整係數λ,且λ=3-k2,當星球基本上是均質剛體時,k2最大為1.5,λ達到最小值1.5。當星球是氣態星球時,其質量集中在核心,k2最小近似於零,λ達到最大值3。將λ作為式1的調整係數得出下式:
將λ值代入上式,可近似得出剛體星球不被主星撕裂的安全距離表示式為
而氣態流體星球不被主星撕裂的安全距離表示式為
上述兩式與洛溪極限表示式對比,幾乎一致,可視為洛希極限的近似表示式。
至此,我們給出了天體與勒夫數有關的洛希極限表示式。
洛溪極限的侷限性在於他無法判斷星體的剛性指數,當在洛希極限中引入λ以及勒夫數時,使得洛希極限公式具有連續性,在判斷星體洛希極限時更加科學、精準。
